Exercícios Resolvidos de EDOs Separáveis

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Enunciado

A solução de y ' = x y ,     y 0 = 0 é

(a) y = 0

(b) y = e x 2 2 - 1

(c) y = 1 - e x 2 2

(d) y = e - x 2 2 - 1

(e) nenhuma das outras alternativas

Passo 1

Essa equação é separável! Então fazendo y ' = d y d x , vamos escrevê-la na forma que já estamos mais acostumados de trabalha, tranquilo?

d y d x = x y

Colocando pra o lado esquerdo tudo o que está em função de y e do lado direito tudo o que está em função de x .

⇒   d y y = x d x

Passo 2

Integrando dos 2 lados:

∫ d y y = ∫ x d x

Para a integral do lado esquerdo temos

∫ d y y = ln ⁡ y + C 1

Pra outra integral vamos ter

∫ x d x = x 2 2 + C 2

Que vem a partir de

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C 2

No nosso caso, n = 1 , tranquilo? Enfim, justando os dois resultado temos

ln ⁡ y + C 1 = x 2 2 + C 2

Juntando as duas constantes, podemos chamar de K .

ln ⁡ y = x 2 2 + K

Passo 3

Agora precisamos isolar o y , pra isso, podemos aplicar o exponencial dos dois lados, assim tirando o y de dentro do ln ⁡ .

Aplicando a exponencial:

y = e x 2 2 + K

Podemos abrir a exponencial do lado direito lembrando que e a + b = e a . e b

y = e x 2 2 . e K

Vamos lembrar de e K não é nada mais que outra constante, com isso chamaremos agora de P por que sei lá! Quero dar uma variada e chamar de P . Como é uma constante, podemos chamar de qualquer letra, então fica a escolha do freguês! Rsrs.

Além disso, podemos tirar o módulo, já que essa constante pode ser, tanto positiva quanto negativa.

  y = P e x 2 2

Show! Achamos a solução geral da EDO, agora temos que ver quando y 0 = 0 , pra descobrirmos o valor da nossa constante que chamamos de P .

Passo 4

Vamos ter

y 0 = 0  

Substituímos o x por zero e igualado tudo a zero.

y x = P e x 2 2

y ( 0 ) = P e 0 2 2

  P e x 2 2

Podemos observar pelo gráfico de exponencial que a curva da exponencial SEMPRE é positiva, certo? Logo, pra essa igualdade estar dando zero ( 0 =   P e x 2 2 ), precisamos que P = 0 .

Logo

y 0 = 0  

  C = 0  

Assim, nossa solução se torna:

y x = 0

Resposta

Alternativa (a)