Exercícios Resolvidos de Eliminação de Gauss

Lista 3 – Professor Daniel – UFRJ – Questão 2

Resolva os sistemas lineares abaixo utilizando o método de eliminação de Gauss, fazendo arredondamento com 3 casas decimais:

a 3.03 x 1 - 12.1 x 2 + 14.0 x 3 = - 119 - 3.03 x 1 + 12.1 x 2 - 7.00 x 3 = 120 6.11 x 1 - 14.2 x 2 + 21.0 x 3 = - 139

Solução exata: x 1 = 0 , x 2 = 10 , x 3 = 1 7

b x 1 + 1 2 x 2 + 1 3 x 3 = 2 1 2 x 1 + 1 3 x 2 + 1 4 x 3 = - 1 1 3 x 1 + 1 4 x 2 + 1 5 x 3 = 0

Solução exata: x 1 = 54 , x 2 = - 264 , x 3 = 240

Passo 1

a Passando para a forma de matriz aumentada:

3.03 - 12.1 14 - 3.03 12.1 - 7 6.11 - 14.2 21 - 119 120 - 139

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Fase 1 – Eliminação:

3.03 - 12.1 14 - 3.03 12.1 - 7 6.11 - 14.2 21 - 119 120 - 139

L 2 L 2 - - 3.03 3.03 L 1 = L 2 + L 1 :

3.03 - 12.1 14 0 0 7 0 10.206 - 7.238 - 119 1 101.023

L 3 L 2 :

3.03 - 12.1 14 0 10.206 - 7.238 0 0 7 - 119 101.023 1

Passo 3

Fase 2Retrosubstituição:

Voltando para a forma de sistema:

3.03 x 1 - 12.1 x 2 + 14.0 x 3 = - 119 10.206 x 2 - 7.238 x 3 = 101.023 7 x 3 = 1       I I I I I I

De I I I :

x 3 = 0.143

De I I :

10.206 x 2 - 7.238 0.143 = 101.023

10.206 x 2 = 102.058

x 2 = 10

De I :

3.03 x 1 - 12.1 10 + 14.0 0.143 = - 119

3.03 x 1 = - 0.002

x 1 = 0

Logo, ficamos com:

x 1 , x 2 , x 3 = 0,10,0.143

Passo 4

b Passando para a forma de matriz aumentada:

1 0.5 0.333 0.5 0.333 0.25 0.333 0.25 0.2 2 - 1 0

Passo 5

Fase 1 – Eliminação:

1 0.5 0.333 0.5 0.333 0.25 0.333 0.25 0.2 2 - 1 0

L 2 L 2 - 0.5 1 L 1 :

1 0.5 0.333 0 0.083 0.084 0.333 0.25 0.2 2 - 2 0

L 3 L 3 - 0.333 1 L 1 :

1 0.5 0.333 0 0.083 0.084 0 0.084 0.089 2 - 2 - 0.667

L 3 L 3 - 0.084 0.083 L 2 :

1 0.5 0.333 0 0.083 0.084 0 0 0.004 2 - 2 1.357

Passo 6

Fase 2Retrosubstituição:

Voltando para a forma de sistema:

x 1 + 0.5 x 2 + 0.333 x 3 = 2 0.083 x 2 + 0.084 x 3 = - 2 0.004 x 3 = 1.357       I I I I I I

De I I I :

x 3 = 339.25

De I I :

0.083 x 2 + 0.084 × 339.25 = - 2

0.083 x 2 = - 30.497

x 2 = - 367.434

De I :

x 1 + 0.5 - 367.434 + 0.333 339.25 = 2

x 1 = 72.747

Logo, ficamos com:

x 1 , x 2 , x 3 = 72.747 , - 367.434,339.25

Um resultado bem distante do real né? Pra você ver a diferença que algumas casas decimais fazem!

Resposta

a x 1 , x 2 , x 3 = 0,10,0.143

b x 1 , x 2 , x 3 = 72.747 , - 367.434,339.25

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