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Exercícios Resolvidos de Método da Eliminação de Gauss

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Enunciado

Utilizando o método da Eliminação de Gauss, verifique se é possível resolver o sistema linear abaixo:

x + y + z = 1 x + 2 y + 2 z = 2 3 x + 4 y + 4 z = 4

Passo 1

Vamos utilizar o método da Eliminação de Gauss para tentar encontrar a solução do problema. O primeiro passo é representar esse sistema em forma de matriz:

Com esse sistema linear, conseguimos construir essas matrizes:

1 1 1 1 2 2 3 4 4 x y z = 1 2 4

Começamos passando para a forma de matriz aumentada:

1 1 1 1 2 2 3 4 4 1 2 4

Passo 2

Fase 1 – Eliminação:

1 1 1 1 2 2 3 4 4 1 2 4

L 2 ← L 2 - L 1 :

1 1 1 0 1 1 3 4 4 1 1 4

L 3 ← L 3 - 3 L 1 :

1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1

Agora vamos para o segundo pivô:

1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1

L 3 ← L 3 - L 2 :

1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0

Passo 3

Fase 2Retrosubstituição:

Passando para a forma de sistema:

x + y + z = 1 y + z = 1      

Como temos 3 incógnitas e apenas 2 equações, nosso sistema tem infinitas soluções!!

Como poderíamos achar uma resposta pra esse problema, então? Vamos deixar tudo em função de uma das variáveis:

y = 1 - z

E

x = 1 - y - z

Como y = 1 - z :

x = 1 - 1 - z - z = 1 - 1 + z - z = 0

Logo, dizemos que x = 0 , y = 1 - z e z é qualquer número pertencente aos reais.

Então, foi possível resolver o sistema!

Resposta

Sim, foi possível e:

x , y , z = 0,1 - z , z ,   z ∈ R

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