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Exercícios Resolvidos de Método da Eliminação de Gauss

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Enunciado

Resolva o sistema linear abaixo utilizando o método da Eliminação de Gauss:

x + y + z = 1 4 x + 4 y + 2 z = 2 2 x + y - z = 0

Foi necessário trocar alguma linha?

Passo 1

Com esse sistema linear, conseguimos construir essas matrizes:

1 1 1 4 4 2 2 1 - 1 x y z = 1 2 0

Começamos passando para a forma de matriz aumentada:

1 1 1 4 4 2 2 1 - 1 1 2 0

Passo 2

Fase 1 – Eliminação:

1 1 1 4 4 2 2 1 - 1 1 2 0

L 2 ← L 2 - 4 L 1 :

1 1 1 0 0 - 2 2 1 - 1 1 - 2 0

Opa, para facilitar nossa vida, podemos trocar a segunda e a terceira linhas:

L 3 ← L 2 :

1 1 1 2 1 - 1 0 0 - 2 1 0 - 2

Continuando:

L 2 ← L 2 - 2 L 1 :

1 1 1 0 - 1 - 3 0 0 - 2 1 - 2 - 2

Como vemos, foi necessário trocar uma linha (a segunda com a terceira linha)

Passo 3

Fase 2Retrosubstituição:

Passando para a forma de sistema:

x + y + z = 1 - y - 3 z = - 2 - 2 z = - 2      

Da terceira equação:

z = 1

Substituindo z na segunda equação:

- y - 3 ∙ 1 = - 2    

y = - 1

Substituindo y e z na primeira equação:

x - 1 + 1 = 1

Logo, ficamos com:

x , y , z = 1 , - 1 , 1

Resposta

x , y , z = 1 , - 1,1

L 3 ← L 2

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