Exercícios Resolvidos de Método da Eliminação de Gauss

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Enunciado

2. Considerando os pontos da tabela abaixo:

a) Ajuste a função P ( x ) = a ⋅ e b x aos pontos dados. Obs.: O sistema linear resultante deve ser resolvido pelo método de eliminação de Gauss.

b) Calcule o valor de P ( 3,5 ) a partir do modelo encontrado.

c) Baseado no erro quadrado, indique se o modelo encontrado em (a) é mais preciso do que a opção linear P 1 ( x ) = - 2,408 x + 7,639 .

Passo 1

Eai, galera?? Vamos para mais um exercício de cálculo numérico! Bem, nós queremos ajustar a função P ( x ) aos 4 pontos da tabela, ou seja, descobrir os valores de a e b . Para isso, vamos usar o Método dos Mínimos Quadrados!

Observem primeiro que P ( x ) é uma função exponencial. Logo, devemos fazer uma linearização através de uma mudança de variável. Vamos considerar z = l n ( P ( x ) ) = l n ( f ( x ) ) :

z = l n ( a ⋅ e b x ) = l n ( a ) + l n ( e b x ) = l n ( a ) + b x ⋅ l n ( e ) = l n ( a ) + b x = β 1 + β 2 ⋅ x

Agora nós temos um modelo linearizado z = β 1 ( x ) ⋅ g 1 ( x )   +   β 2 ⋅ g 2 ( x ) , em que β 1 = l n ( a ) , β 2 = b , g 1 ( x ) = 1 e g 2 ( x ) = x . Em seguida, vamos obter os valores de z , g 1 ( x ) e g 2 ( x ) para os pontos da tabela:

Para encontrar os coeficientes a e b da função P ( x ) , devemos resolver o seguinte sistema de equações:

< g 1 , g 1 > ⋅ β 1 + < g 1 , g 2 > ⋅ β 2 = < z , g 1 >

< g 2 , g 1 > ⋅ β 1 + < g 2 , g 2 > ⋅ β 2 = < z , g 2 >

Galera, a notação < m , n > indica que devemos fazer o produto escalar entre os vetores m e n ! No caso das nossas equações, vamos considerar que g 1 ,   g 2 e z são vetores cujos elementos estão exibidos na tabela acima! Por exemplo:

< g 2 , g 2 > = 1,7 ⋅ 1,7 + 2,0 ⋅ 2,0 + 2,5 ⋅ 2,5 + 3,0 ⋅ 3,0 = 22,14

De boa, né? Realizando esses seis produtos escalares, nós chegamos no seguinte:

4 ⋅ β 1 + 9,2 ⋅ β 2 = 2,191                                     ( 1 )

9,2 ⋅ β 1 + 22,14 ⋅ β 2 = 3,8525             ( 2 )

Falta pouco, galera! Respira fundo hahaha Vamos usar o método de eliminação de Gauss para resolver esse sistema! Multiplicando a primeira linha por - 9,2 4 e somando com a segunda, obtemos:

4 ⋅ β 1 + 9,2 ⋅ β 2 = 2,191           ( 1 )

0,98 ⋅ β 2 = - 1,1868                               ( 3 )

Isolando β 2 em ( 3 ) , achamos β 2 = - 1,2110 . Substituindo este valor em ( 1 ) e isolando β 1 , achamos β 1 = 3,3330 ! Como β 1 = l n ( a ) ↔ a = e β 1 , então a = e 3,3330 = 28,0223 . Como β 2 = b , então b = - 1,2110 . Ufa!

Passo 2

A letra B é moleza, hein? Nós vimos no passo 1 que P ( x ) = a ⋅ e b x = 28,0223 ⋅ e - 1,2110 ⋅ x . Para x = 3,5 , teremos então:

P ( 3,5 ) = 28,0 223 ⋅ e - 1,2110 ⋅ 3,5 = 0,4043

Simples assim, apenas substituir o valor de x na função P ( x ) !

Passo 3

Finalmente chegamos na última questão! Galera, para achar o erro quadrado, devemos calcular P ( x ) e P 1 ( x ) para os valores de x tabelados no enunciado, tranquilo? Resumindo tudo em uma tabela, vamos ter algo assim:

A fórmula do erro quadrático é:   e r r o ( F ) = Σ ( F ( x ) - f ( x ) ) 2 . Para P ( x ) e P 1 ( x ) , teremos:

e r r o ( P ) = ( 3,5762 - 4 , 3 ) 2 + ( 2,4868 - 2 ) 2 + ( 1,3573 - 1,3 ) 2 + ( 0,7408 - 0,8 ) 2 = 0,7676

e r r o ( P 1 ) = ( 3,5454 - 4 , 3 ) 2 + ( 2,8230 - 2 ) 2 + ( 1,619 - 1,3 ) 2 + ( 0,415 - 0,8 ) 2 = 1,4967

Vemos então que o erro quadrático de P é o menor que o de P 1 . Valeu, galera!

Resposta

a) P ( x ) = 28,0223 ⋅ e - 1,2110 ⋅ x .

b) P ( 3,5 ) = 0,4043 .

c) O modelo encontrado em (a) possui erro quadrático inferior ao da opção linear, sendo, portanto, mais preciso.

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