Exercícios Resolvidos de Eliminação de Gauss

Richard L. Burden e J. Douglas Faires, Numerical Analysis, 9ª ed. Brooks/Cole, Cengage Learning, pag 369, exercício 5.

Use o algoritmo da eliminação de Gauss para resolver os sistemas abaixo, se possível, e determine se alguma troca de linhas é necessária.

a x 1 - x 2 + 3 x 3 = 2 3 x 1 - 3 x 2 + x 3 = - 1 x 1 + x 2 = 3

b 2 x 1 - 1.5 x 2 + 3 x 3 = 1 - x 1 + 2 x 3 = 3 4 x 1 - 4.5 x 2 + 5 x 3 = 1

c 2 x 1 = 3 x 1 + 1.5 x 2 = 4.5 - 3 x 2 + 0.5 x 3 = - 6.6 2 x 1 - 2 x 2 + x 3 + x 4 = 0.8

d x 1 + x 2 + x 4 = 2 2 x 1 + x 2 - x 3 + x 4 = 1 4 x 1 - x 2 - 2 x 3 + 2 x 4 = 0 3 x 1 - x 2 - x 3 + 2 x 4 = - 3

Passo 1

a Passando para a forma de matriz aumentada:

1 - 1 3 3 - 3 1 1 1 0 2 - 1 3

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Fase 1 – Eliminação:

1 - 1 3 3 - 3 1 1 1 0 2 - 1 3

L 2 L 2 - 3 1 L 1 :

1 - 1 3 0 0 - 8 1 1 0 2 - 7 3

L 3 L 3 - 1 1 L 1 :

1 - 1 3 0 0 - 8 0 2 - 3 2 - 7 1

Repare que agora temos um pivô zero, então nosso algoritmo ia para o espaço! Se fosse uma máquina teria acusado erro aqui e esse é um problema muito sério desse método. Mas como não somos máquinas vamos trocar as linhas e continuar:

L 2 L 3 :

1 - 1 3 0 2 - 3 0 0 - 8 2 1 - 7

Passo 3

Fase 2Retrosubstituição:

Voltando para a forma de sistema:

x 1 - x 2 + 3 x 3 = 2 2 x 2 - 3 x 3 = 1 - 8 x 3 = - 7       I I I I I I

De I I I :

x 3 = 0.875

De I I :

2 x 2 - 3 0.875 = 1

2 x 2 = 3.625

x 2 = 1.8125

De I :

x 1 - 1.8125 + 3 0.875 = 2

x 1 = 1.1875

Logo, ficamos com:

x 1 , x 2 , x 3 = 1.1875,1.8125,0.875

E fizemos 1 troca de linhas.

Passo 4

b Passando para a forma de matriz aumentada:

2 - 1.5 3 - 1 0 2 4 - 4.5 5 1 3 1

Passo 5

Fase 1 – Eliminação:

2 - 1.5 3 - 1 0 2 4 - 4.5 5 1 3 1

L 2 L 2 - - 1 2 L 1 = L 2 + 1 2 L 1 :

2 - 1.5 3 0 - 0.75 3.5 4 - 4.5 5 1 3.5 1

L 3 L 3 - 4 2 L 1 :

2 - 1.5 3 0 - 0.75 3.5 0 - 1.5 - 1 1 3.5 - 1

L 3 L 3 - - 1.5 - 0.75 L 2 = L 3 - 2 L 2 :

2 - 1.5 3 0 - 0.75 3.5 0 0 - 8 1 3.5 - 8

Passo 6

Fase 2Retrosubstituição:

Voltando para a forma de sistema:

2 x 1 - 1.5 x 2 + 3 x 3 = 1 - 0.75 x 2 + 3.5 x 3 = 3.5 - 8 x 3 = - 8       I I I I I I

De I I I :

x 3 = 1

De I I :

- 0.75 x 2 + 3.5 = 3.5

- 0.75 x 2 = 0

x 2 = 0

De I :

2 x 1 + 3 = 1

2 x 1 = - 2

x 1 = - 1

Logo, ficamos com:

x 1 , x 2 , x 3 = - 1,0 , 1

E não fizemos nenhuma troca de linhas.

Passo 7

c Passando para a forma de matriz aumentada:

2 0 0 0 1 1.5 0 0 0 - 3 0.5 0 2 - 2 1 1 3 4.5 - 6.6 0.8

Passo 8

Fase 1 – Eliminação:

2 0 0 0 1 1.5 0 0 0 - 3 0.5 0 2 - 2 1 1 3 4.5 - 6.6 0.8

L 2 L 2 - 1 2 L 1 :

2 0 0 0 0 1.5 0 0 0 - 3 0.5 0 2 - 2 1 1 3 3 - 6.6 0.8

L 4 L 4 - 2 2 L 1 :

2 0 0 0 0 1.5 0 0 0 - 3 0.5 0 0 - 2 1 1 3 3 - 6.6 - 2.2

L 3 L 3 - - 3 1.5 L 2 = L 3 + 2 L 2 :

2 0 0 0 0 1.5 0 0 0 0 0.5 0 0 - 2 1 1 3 3 - 0.6 - 2.2

L 4 L 4 - - 2 1.5 L 2 = L 4 + 2 1.5 L 2 :

2 0 0 0 0 1.5 0 0 0 0 0.5 0 0 0 1 1 3 3 - 0.6 1.8

L 4 L 4 - 1 0.5 L 3 :

2 0 0 0 0 1.5 0 0 0 0 0.5 0 0 0 0 1 3 3 - 0.6 3

Passo 9

Fase 2Retrosubstituição:

Voltando para a forma de sistema:

2 x 1 = 3 1.5 x 2 = 3 0.5 x 3 = - 0.6 x 4 = 3       I I I I I I I V

De I I I :

x 3 = - 1.2

De I I :

x 2 = 2

De I :

x 1 = 1.5

Logo, ficamos com:

x 1 , x 2 , x 3 , x 4 = 1.5,2 , - 1.2 , 3

E não fizemos nenhuma troca de linhas.

Passo 10

c Passando para a forma de matriz aumentada:

1 1 0 1 2 1 - 1 1 4 - 1 - 2 2 3 - 1 - 1 2 2 1 0 - 3

Passo 11

Fase 1 – Eliminação:

1 1 0 1 2 1 - 1 1 4 - 1 - 2 2 3 - 1 - 1 2 2 1 0 - 3

L 2 L 2 - 2 1 L 1 :

1 1 0 1 0 - 1 - 1 - 1 4 - 1 - 2 2 3 - 1 - 1 2 2 - 3 0 - 3

L 3 L 3 - 4 1 L 1 :

1 1 0 1 0 - 1 - 1 - 1 0 - 5 - 2 - 2 3 - 1 - 1 2 2 - 3 - 8 - 3

L 4 L 4 - 3 1 L 1 :

1 1 0 1 0 - 1 - 1 - 1 0 - 5 - 2 - 2 0 - 4 - 1 - 1 2 - 3 - 8 - 9

L 3 L 3 - - 5 - 1 L 2 = L 3 - 5 L 2 :

1 1 0 1 0 - 1 - 1 - 1 0 0 3 3 0 - 4 - 1 - 1 2 - 3 7 - 9

L 4 L 4 - - 4 - 1 L 2 = L 4 - 4 L 2 :

1 1 0 1 0 - 1 - 1 - 1 0 0 3 3 0 0 3 3 2 - 3 7 3

L 4 L 4 - 3 3 L 3 :

1 1 0 1 0 - 1 - 1 - 1 0 0 3 3 0 0 0 0 2 - 3 7 - 4

Passo 12

Deu pra ver que o sistema não tem solução? Se liga na última equação! Ela diz que 0 = - 4 , o que é obviamente impossível!

Resposta

a x 1 , x 2 , x 3 = 1.1875,1.8125,0.875 . Fizemos uma troca de linhas.

b x 1 , x 2 , x 3 = - 1,0 , 1 . Não fizemos troca de linhas.

c x 1 , x 2 , x 3 , x 4 = 1.5,2 , - 1.2,3 . Não fizemos troca de linhas.

d Sistema impossível.

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