Exercícios Resolvidos de Eliminação de Gauss

Richard L. Burden e J. Douglas Faires, Numerical Analysis, 9ª ed. Brooks/Cole, Cengage Learning, pag 368, exercício 4.

Use a eliminação gaussiana com Retrosubstituição e aritmética de ponto flutuante de dois dígitos com arredondamento para resolver os sistemas abaixo. Não reorganize as equações. (A solução exata dos sistemas é x 1 = - 1 , x 2 = 1 , x 3 = 3 )

a   - x 1 + 4 x 2 + x 3 = 8 5 3 x 1 + 2 3 x 2 + 2 3 x 3 = 1 2 x 1 + x 2 + 4 x 3 = 11

b 4 x 1 + 2 x 2 - x 3 = - 5 1 9 x 1 + 1 9 x 2 - 1 3 x 3 = - 1 x 1 + 4 x 2 + 2 x 3 = 9

Passo 1

a Começamos passando para a forma de matriz aumentada:

- 1 4 1 1.67 0.67 0.67 2 1 4 8 1 11

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Fase 1 – Eliminação:

- 1 4 1 1.67 0.67 0.67 2 1 4 8 1 11

L 2 L 2 - 1.67 - 1 L 1 = L 2 + 1.67 L 1 :

- 1 4 1 0 7.35 2.34 2 1 4 8 14.36 11

L 3 L 3 - 2 - 1 L 1 = L 3 + 2 L 1 :

- 1 4 1 0 7.35 2.34 0 9 6 8 14.36 27

L 3 L 3 - 9 7.35 L 2 :

- 1 4 1 0 7.35 2.34 0 0 3.13 8 14.36 9.42

Passo 3

Fase 2Retrosubstituição:

Passando para a forma de sistema:

- x 1 + 4 x 2 + x 3 = 8 7.35 x 2 + 2.34 x 3 = 1.44 × 10 1 3.13 x 3 = 9.42       I I I I I I

De I I I :

x 3 = 3.01

De I I :

7.35 x 2 + 2.34 3.01 = 1.44 × 10 1

7.35 x 2 = 7.36

x 2 = 1

De I :

- x 1 + 4 1 + 3.01 = 8

- x 1 = 0.99

x 1 = - 0.99

Logo, ficamos com:

x 1 , x 2 , x 3 = - 0.99,1 , 3.01

Passo 4

b Passando para a forma de matriz aumentada:

4 2 - 1 0.11 0.11 - 0.33 1 4 2 - 5 - 1 9

Passo 5

Fase 1 – Eliminação:

4 2 - 1 0.11 0.11 - 0.33 1 4 2 - 5 - 1 9

L 2 L 2 - 0.11 4 L 1 :

4 2 - 1 0 0.55 × 10 - 1 - 0.3 1 4 2 - 5 - 0.86 9

L 3 L 3 - 1 4 L 1 :

4 2 - 1 0 0.55 × 10 - 1 - 0.3 0 3.5 2.25 - 5 - 0.86 1.03 × 10 1

L 3 L 3 - 3.5 0.055 L 2 :

4 2 - 1 0 0.55 × 10 - 1 - 0.3 0 0 2.13 × 10 1 - 5 - 0.86 6.5 × 10 1

Passo 6

Fase 2Retrosubstituição:

Passando para a forma de sistema:

4 x 1 + 2 x 2 - x 3 = - 5 0.055 x 2 - 0.3 x 3 = - 0.86 21.3 x 3 = 65       I I I I I I

De I I I :

x 3 = 3.05

De I I :

0.055 x 2 - 0.3 3.05 = - 0.86

0.055 x 2 = 0.06

x 2 = 1.09

De I :

4 x 1 + 2 1.09 - 3.05 = - 5

4 x 1 = - 4.13

x 1 = - 1.03

Logo, ficamos com:

x 1 , x 2 , x 3 = - 1.03,1.09,3.05

Resposta

a x 1 , x 2 , x 3 = 0.99,1 , 3.01

b x 1 , x 2 , x 3 = - 1.03,1.09,3.05

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