Exercícios Resolvidos de Equações Adimensionalizadas

Frank M. White, Mecânica dos Fluidos, 6ª ed. Porto Alegre: AMGH, 2011.

Uma equação diferencial para modelar a dinâmica da reação química em um reator plug-flow, é a seguinte:

u C x   = D 2 C x 2 - k C -   C t

na qual u é a velocidade, D é um coeficiente de difusão, k é a taxa de reação, x é a distância ao longo do reator e C é a concentração (adimensional) de um dado componente químico no reator. ( a ) Determine as dimensões apropriadas de D e k . ( b ) Usando um comprimento de escala L característico e uma velocidade média V como parâmetros, reescreva essa equação na forma adimensional e comente sobre quaisquer grupos pi que aparecerem.

Passo 1

Vamos determinar nossa função e variáveis para aplicar o teorema Pi

u = f x , C , D , k , t

Vamos dizer as dimensões das variáveis mais conhecidas antes de determinar qual a dimensão de D e k :

u = L T - 1

C = 1 a d i m e n s i o n a l

x = L

t = T

a Como temos uma equação, termo que se somam devem ter as mesmas dimensões para isso ser possível, vamos determinar então a dimensão da função olhando o lado esquerdo da expressão:

u C x = L T - 1 1 L

u C x = { T - 1 }

Logo todos termos tem essa mesma dimensão, logo:

k C = { T - 1 }

k = T - 1 1 = { T - 1 }

E para D :

D 2 C x 2 = { T - 1 }

D = T - 1 L 2 1 = L 2 T - 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Dados um comprimento característico L e uma velocidade V , vamos adimensionalizar a equação. Repare que só temos duas dimensões no problema, logo precisamos de duas variáveis repetitivas como o problema fornece.

Começaremos por u

L a V b u = L 0 T 0

L a L T - 1 b L T - 1 = L 0 T 0

a + b + 1 = 0 - b - 1 = 0

b = - 1 ,   a = 0

Logo o primeiro Pi é:

u * = u V

O segundo pi, de x :

L a V b x = L 0 T 0

L a L T - 1 b L = L 0 T 0

a + b + 1 = 0 - b = 0

b = 0 ,   a = - 1

x * = x L

O terceiro, de t :

L a V b t = L 0 T 0

L a L T - 1 b T = L 0 T 0

a + b = 0 - b + 1 = 0

b = 1 ,   a = - 1

t * = V L t

O quarto, de D :

L a V b D = L 0 T 0

L a L T - 1 b L 2 T - 1 = L 0 T 0

a + b + 2 = 0 - b - 1 = 0

b = - 1 ,   a = - 1

D * = D V L

E finalmente o quinto, de k :

L a V b k = L 0 T 0

L a L T - 1 b { T - 1 } = L 0 T 0

a + b = 0 - b - 1 = 0

b = - 1 ,   a = 1

k * = L V k

Passo 3

Substituindo na equação, começando pelas derivadas:

u C x = D 2 C x 2 - k C - C t

u 1 L C x * = D 1 L 2 2 C x * 2 - k C - L V C t *

Substituindo u ,   D ,   k :

V L u * C x * = V L L 2 D * 2 C x * 2 - V L k * - V L C t *

V L u * C x * = V L D * 2 C x * 2 - V L k * - V L C t *

Logo

u * C x * = D * 2 C x * 2 - k * - C t *

Temos dois adimensionais D * e k * que são

D * = D V L N ú m e r o   d e   P e c l e t   ( d i f u s ã o   d e   m a s s a )

k * = k L V

Resposta

a D = L 2 T - 1   e   k = T - 1

b u * C x * = D * 2 C x * 2 - k * - C t *

D * = D V L   e   k * = k L V

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas