Exercícios Resolvidos de Equações Adimensionalizadas

Elaboração própria

As equações de Navier-Stokes podem ser escritas na forma vetorial como:

ρ g - p + μ ² V   = ρ d V d t

Adimensionalize a parcela transversal da equação para um escoamento bidimensional:

ρ g - p y + μ 2 v x 2 + 2 v y 2 = ρ d v d t

Sendo que o escoamento tem como referência um comprimento L , uma velocidade de entrada U e uma massa específica ρ .

Quais são os fatores adimensionais que apareceram?

Passo 1

Então pessoal vamos com calma, vamos encontrar as variáveis do problema:

v , x , y , z , t , ρ , p , g , μ

Vamos dizer que a função que temos é

v = f ( x , y , z , t , ρ , μ , g , p )

Temos então nove variáveis. Com as seguintes diemensões:

v = L T - 1

x = L

y = L

t = T

ρ = M L - 3

μ = M L - 1 T - 1

g = L T - 2

p = M L - 1 T - 2  

Logo temos apenas 3 dimensões, o que nos dá pelo menos 6 grupos pis.

Sei que parece muito mas veremos que é muito mais simples. Lembre-se de usar as variáveis repetitivas U ,   L e ρ .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Encontraremos o primeiro grupo pi, que arbitrariamente será o de g :

U a L b ρ c g = M 0 L 0 T 0

L T - 1 a L b M L - 3 c L T - 2 = M 0 L 0 T 0

Lembrando que montamos o sistema igualando os expoentes de M , L , T . Logo o sistema fica:

a + b - 3 c + 1 = 0 - a - 2 = 0 c = 0

Neste caso: c = 0 , a = - 2 , b = 1 .

Nosso primeiro adimensional é

g * = g L U 2

Adimensionaremos agora o tempo t :

U a L b ρ c t = M 0 L 0 T 0

L T - 1 a L b M L - 3 c T = M 0 L 0 T 0

O sistema é:

a + b - 3 c = 0 - a + 1 = 0 c = 0

A solução é c = 0 , a = 1 , b = - 1 . O que nos dá o adimensional:

t * = U L t

Seguinto nossas adimensionalizações, agora para a pressão p :

U a L b ρ c p = M 0 L 0 T 0

L T - 1 a L b M L - 3 c M L - 1 T - 2 = M 0 L 0 T 0

a + b - 3 c - 1 = 0 - a - 2 = 0 c + 1 = 0

A solução fica c = - 1 , a = - 2 e b = 0

p * = p ρ U 2

Próxima adimensionalização é de μ :

U a L b ρ c μ = M 0 L 0 T 0

L T - 1 a L b M L - 3 c M L - 1 T - 1 = M 0 L 0 T 0

a + b - 3 c - 1 = 0 - a - 1 = 0 c + 1 = 0

c = - 1 , a = - 1 , b = - 1 :

μ * = μ ρ U L

Adimensionalização de v :

U a L b ρ c v = M 0 L 0 T 0

L T - 1 a L b M L - 3 c L T - 1 = M 0 L 0 T 0

a + b - 3 c + 1 = 0 - a - 1 = 0 c = 0

a = - 1 , c = 0 , b = 0

v * = v U

A adimensionalização de x , y , z é a mesma pois tem a mesma dimensão:

U a L b ρ c x = M 0 L 0 T 0

L T - 1 a L b M L - 3 c L = M 0 L 0 T 0

a + b - 3 c + 1 = 0 - a = 0 c = 0

a = 0 , c = 0 , b = - 1

x * = x L

Passo 3

Repare que encontramos 8 grupos pis e não 6 , calma que não tem problema, provavelmente termos alguma redundância, ou seja, coisas se repetirão.

Vamos com calma olhando cada termo e as peculizaridades de de adimensionalizar derivadas e infinitésimos.

Começaremos substituindo os nossos adimensionais em ρ d v d t :

Podemos escrever v = v * U e t = L U t * , substituindo na expressão:

ρ d L U d t * v * U

Sendo d t = L U d t *

ρ U 2 L d v * d t *

Como U é constante pode sair da derivada.

Aplicando o mesmo procedimento aos outros termos:

μ 2 v x 2 + 2 v y 2 :

μ * ρ U L U L ² 2 v * x * 2 + 2 v * y * 2 = μ * ρ U 2 L 2 v * x * 2 + 2 v * y * 2

- p y :

- ρ U 2 L p * y *

ρ g :

ρ U 2 L g *

O que nos dá a seguinte equação:

ρ U 2 L g * - ρ U 2 L p * y * + μ * ρ U 2 L 2 v * x * 2 + 2 v * y * 2 = ρ U 2 L d v * d t *

Perceba que o fator ρ U 2 L aparece em todos os termos então podemos dividir a equação toda por isso, logo:

g * - p * y * + μ * 2 v * x * 2 + 2 v * y * 2 = d v * d t *

Que é nossa forma adimensional da equação Navier-Stokes.

Passo 4

Se olharmos os termos g * e μ * , temos dois números muito conhecidos:

g * = g L U 2 = 1 F r ²

μ * = μ ρ U L = 1 R e

Os famosos números de Froude e Reynolds. Podemos dizer que a equação é então:

1 F r ² - p * y * + 1 R e 2 v * x * 2 + 2 v * y * 2 = d v * d t *

Resposta

1 F r ² - p * y * + 1 R e 2 v * x * 2 + 2 v * y * 2 = d v * d t *

Apareceram o número de Froude F r e de Reynolds R e .

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