Exercícios Resolvidos de Erro na Interpolação

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Enunciado

Consideremos o problema de interpolação para s e n x , numa tabela de pontos igualmente espaçados com intervalo h , usando um polinômio de 2 º grau. Fazendo x 0 = - h , x 1 = 0 , x 2 = h mostre que:

E x ≤ 3 27 h 3

Passo 1

Temos que:

E x ≤ x - x 0 x - x 1 x - x 2 M n + 1 n + 1 !

Como estamos usando um polinômio interpolador de segundo grau, temos n = 2 , e precisamos da derivada terceira de s e n x :

f x = sen ⁡ x

f ' x = cos ⁡ x

f ' ' x = - sen ⁡ x

f ' ' ' x = - cos ⁡ x

E temos que o valor máximo que - cos ⁡ x assume em - h , h é 1 . Sendo assim, substituindo M 3 = 1 e os valores de x 0 , x 1 e x 2 dados:

E x ≤ x + h x x - h 1 3 ! = x x 2 - h 2 6 = x 3 - h 2 x 6

Passo 2

Não é isso que queríamos né? Po, mas se E x é sempre menor que x 3 - h 2 x 6 , então se acharmos o máximo do polinômio x 3 - h 2 x , então teremos um máximo geral para o erro! Vamos tentar isso!

O máximo de x 3 - h 2 x certamente é um ponto crítico de x 3 - h 2 x , então:

x 3 - h 2 x ' = 0

3 x 2 - h 2 = 0

x 2 = h 2 3

x = ± h 3

Substituindo esses valores na função:

h 3 3 - h 2 h 3 = - h 3 3 - h 2 - h 3 = 2 h 3 3 3

Logo,

max x ∈ - h , h ⁡ x 3 - h 2 x = 2 h 3 3 3

Substituindo, temos:

E x ≤ 2 h 3 3 3 ∙ 1 6 = h 3 9 3 = 3 27 h 3

Aê, agora sim! Esse era o valor que precisávamos!

Passo 3

-

Repare que aquela informação dos pontos serem igualmente espaçados era só pra te enganar mesmo haha! Se usasse a fórmula você ia chegar em:

E x ≤ h 3 12

que não é o resultado que ele quer haha.