Exercícios Resolvidos de Erro na Interpolação

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Enunciado

Queremos construir uma tabela que contenha valores de cos ⁡ x para pontos igualmente espaçados no intervalo I = 1,2 .

Qual deve ser o menor número de pontos desta tabela para se obter, a partir dela, o cos ⁡ x , usando interpolação linear com erro menor que 10 - 6 para qualquer x no intervalo 1,2 .

Passo 1

Nesse caso usaremos o número de pontos como uma forma de “dimensionar o h ”. Em uma interpolação linear temos apenas dois pontos separados por uma distância h . Logo, sempre podemos dizer que:

E x ≤ h 2 M 2 8

Vamos começar encontrando M 2 . Precisamos da derivada segunda de cos ⁡ x :

f x = cos ⁡ x

f ' x = - sin ⁡ x

f ' ' x = - cos ⁡ x

Como o erro deve ser menor que 10 - 6 no intervalo 1,2 , usamos o valor máximo de - cos ⁡ x nesse intervalo como M 2 . E esse valor é em 1 , onde - cos ⁡ 1 ≅ 0.54 .

Passo 2

Agora precisamos escrever h em função do número de pontos. Então vamos montar uma tabelinha:

Com essa relação podemos substituir tudo na fórmula:

E x ≤ 1 n - 1 2 0.54 8 = 0.54 8 n 2 - 2 n + 1 = 10 - 6

n 2 - 2 n + 1 = 67.5 × 10 3

Resolvendo a equação de segundo grau, temos:

n = - 258.808   o u   260.808

Como não faz sentido termos um número de pontos negativo e nem quebrado, n = 261 pontos.

Resposta

n = 261