Exercícios Resolvidos de Erro na Interpolação

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Enunciado

Sabendo-se que a equação x - e - x = 0 admite uma raiz no intervalo 0,1 , determine o valor desta raiz usando interpolação quadrática. Estime o erro cometido, se possível.

Passo 1

Vamos começar montando uma tabela com alguns pontos:

O que vamos fazer agora é escrever x como função de y e não mais y como função de x . Ficamos com:

Assim nós não precisamos encontrar o zero do polinômio interpolador. Podemos jogar o zero direto no que vamos encontrar! Agora é só seguirmos o passo a passo de sempre ;)

Como ele quer uma função de interpolação quadrática, precisamos de 3 pontos. Vamos usar y 0 = - 1 , y 1 = - 0.1065 e y 2 = 0.6321 . Além disso para estimarmos a incerteza precisamos de um quarto ponto para obtermos um operador diferenças divididas de ordem 4 . Vamos usar então o y 3 = 1.2769 . A tabela fica:

Passo 2

Da tabela tiramos que:

d 0 = 0

d 1 = 0.5596

d 2 = 0.0719

Substituindo no polinômio:

p 2 y = d 0 + d 1 y - y 0 + d 2 y - y 0 y - y 1

p 2 y = 0.5596 y + 1 + 0.0719 y + 1 y + 0.1065

p 2 y = 0.0719 y 2 + 0.639157 y + 0.567257

Substituindo y = 0 ,

p 2 0 = 0.5673

Passo 3

Agora para estimar o erro usamos a fórmula:

E y ≈ y - y 0 y - y 1 y - y 2 max   ⁡ d 3

E 0 = 1 ∙ 0.1065 ∙ - 0.6321 ∙ 0.00032 = 0.2154 × 10 - 4

Resposta

x = 0.5673

E 0 = 0.2154 × 10 - 4