Exercícios Resolvidos de Erro na Interpolação

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Enunciado

Suponha que f x = sin ⁡ x é aproximada em 0,1 por um polinômio interpolador em n + 1 pontos distintos equidistantes 0 = x 0 < x 1 < … < x n - 1 < x n = 1 . Determine n tal que o erro seja menor que 10 - 4   ∀ x ∈ 0,1

Passo 1

Como temos pontos equidistantes podemos usar a fórmula:

E x ≤ h n + 1 M n + 1 4 n + 1 ≤ 10 - 4

Temos muitas incógnitas aí né? Vamos diminuir isso um pouco. Primeiro escrevemos h em função de n . Lembrando que aqui n é o número de partes em que o intervalo foi dividido e não o número de pontos!

Passo 2

Agora vamos dar um jeito nesse M n + 1 .

Bom, se n for ímpar, a derivada de ordem n + 1 de seno será um seno. O sinal do seno não importa já que estamos interessados no módulo dele. Nesse caso, M n + 1 = 0.8415 que é o valor de sin ⁡ 1 .

Se n for par, a derivada de ordem n + 1 de seno será um cosseno. Nesse caso, M n + 1 = 1 que é o valor de cos ⁡ 0 .

Então para cuidar desses dois casos vamos usar a variável k = 0,1 , 2,3 , … :

n = 2 k   n   p a r

n = 2 k - 1   n   i m p a r

Vamos substituir ambos os casos na nossa fórmula e achar o k mínimo que satisfaz a equação.

Passo 3

Caso n par:

1 2 k 2 k + 1 1 8 k + 4 ≤ 10 - 4

1 2 k 2 k + 1 ∙ 8 k + 4 ≤ 10 - 4

Se k = 1 , temos:

0.01042 > 10 - 4

Se k = 2 , temos:

0.48828 × 10 - 4 < 10 - 4

Logo, k = 2 ⇒ n = 2 k = 4 .

Passo 4

Caso n ímpar:

1 2 k - 1 2 k 0.8415 8 k ≤ 10 - 4

0.8415 2 k - 1 2 k ∙ 8 k ≤ 10 - 4

Se k = 1 , temos:

0.10519 > 10 - 4

Se k = 2 , temos:

6.49306 × 10 - 4 > 10 - 4

Se k = 3 , temos:

0.02244 × 10 - 4 < 10 - 4

Logo, k = 3 ⇒ n = 2 k - 1 = 5

Passo 5

Sendo assim, o menor n é 4 .

Resposta

n = 4