Exercícios Resolvidos de Erro na Interpolação

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Enunciado

Seja a função f x = x + 1 - 1 , calcule uma aproximação para f 0.8 , utilizando o polinômio de Newton sabendo que f 0 = 1 ; f 0.5 = 0.6667 ; f 1 = 0.5 . Dar um limitante superior para o erro.

Passo 1

Vamos começar montando a tabela de operadores diferenças divididas:

Como temos apenas 3 pontos, vamos encontrar um polinômio interpolador de grau 2 .

Passo 2

Definimos x 0 = 0 , x 1 = 0.5 e x 2 = 1 e tiramos da tabela que:

d 0 = 1

d 1 = - 0.6666

d 2 = 0.3332

Substituindo no polinômio temos:

p 2 x = d 0 + d 1 x - x 0 + d 2 x - x 0 x - x 1

p 2 x = 1 - 0.6666 x + 0.3332 x x - 0.5

p 2 x = 0.3332 x 2 - 0.8332 x + 1

Passo 3

Nossa aproximação será:

p 2 0.8 = 0.546688

Passo 4

Como os pontos estão igualmente espaçados, um limitante superior para o erro pode ser dado por:

E x ≤ h n + 1 M n + 1 4 n + 1

Temos que h = 0.5 e n = 2 . Só falta acharmos M 3 . Para isso, precisamos da derivada terceira de f x :

f x = x + 1 - 1

f ' x = - x + 1 - 2

f ' ' x = 2 x + 1 - 3

f ' ' ' x = - 6 x + 1 - 4

Como queremos o maior módulo de f ' ' ' x em 0,1 , basta acharmos o máximo de g x = 6 x + 1 - 4 . Como g x é decrescente e positiva em 0,1 , seu máximo está em x = 0 , onde temos g 0 = 6 .

Substituindo tudo na nossa equação:

E x ≤ 0.5 3 ∙ 6 12 = 0.0625

Resposta

p 2 0.8 = 0.546688

E x ≤ 0.0625