Exercícios Resolvidos de Escoamento sobre um Cilindro

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Enunciado

Considere um tanque de água quente de 50   c m de diâmetro e 95   c m de comprimento. O reservatório é colocado sobre o telhado de uma casa. A água dentro do tanque é aquecida a 80 ° C por um coletor solar de uma placa plana durante o dia.

O reservatório é então exposto ao ar a 18 ° C com vento a uma velocidade média de 40   k m / h durante a noite.

Estime a temperatura do reservatório durante um período de 45   m i n u t o s . Assuma que a superfície do tanque esteja na mesma temperatura que a água no interior e o coeficiente de transferência de calor nas superfícies superior e inferior seja o mesmo das superfícies laterais.

Passo 1

De acordo com valores tabelados, as propriedades da água a 80 ° C são dadas por:

ρ = 971,8   k g / m 3

c p = 4197   J / k g . ° C

Para as propriedades do ar, vamos utilizar a temperatura de filme, dada por:

T f = 80 + 18 2 = 49 ° C

A essa temperatura, de acordo com a tabela A.4 do Incropera, temos o seguinte:

k = 0,02735   W / ( m . ° C )

υ = 1,798 × 10 - 5   m 2 / s

P r = 0,7228

Passo 2

A ideia aqui é a seguinte...

Podemos calcular a taxa de transferência de calor trocada nesses 45 minutos de duas formas. A primeira delas é calcular a quantidade de calor total trocada:

Q = m . c p . T 1 - T 2

Onde T 2 é a temperatura final, e T 1 é a temperatura inicial do tanque. Logo em seguida, calcularíamos a taxa de transferência de calor dividindo o amigão acima pelo intervalo de tempo:

q = Q Δ t → q = m . c p . T 1 - T 2 Δ t

A segunda forma é utilizar a Lei de Resfriamento de Newton:

q = h . A . T s - T ∞

Se igualarmos essas duas expressões, podemos encontrar a temperatura final do tanque, onde a temperatura T s é dada pela média das temperaturas inicial e final do tanque:

T s = T 2 + T 1 2

Estamos calculando a temperatura superficial T s dessa forma justamente porque ela varia de T 1 a T 2 nos 45 minutos.

Igualando as duas expressões, teremos o seguinte:

h . A . T 2 + T 1 2 - T ∞ = m . c p . T 1 - T 2

Nessa expressão, o único cara que não temos é o coeficiente convectivo, então vamos atrás dele.

Passo 3

O coeficiente convectivo é dado por:

h = k . N u - D D

Pra calcular o número de Nusselt, precisamos do número de Prandtl (dado pelo problema) e do número de Reynolds, dado por:

R e D = u ∞ . D υ = 40 3,6 × 0,5 1,798 × 10 - 5 → R e D = 30 8985

Dessa forma, o número de Nusselt será dado por:

N u - D = 0,3 + 0,62 . R e D 1 / 2 . P r 1 / 3 1 + 0,4 P r 2 / 3 1 / 4 . 1 + R e D 282.000 5 / 8 4 / 5

Substituindo os valores:

N u - D = 0,3 + 0,62 × 308985 1 / 2 × 0,7228 1 / 3 1 + 0,4 0,7228 2 / 3 1 / 4 . 1 + 308985 282.000 5 / 8 4 / 5

N u - D = 484,8

Dessa forma, o coeficiente convectivo será:

h = k . N u - D D = 0,02735 × 484,8 0,5 → h = 26,52   W / ( m 2 . ° C )

Passo 4

Voltando à expressão do Passo 2:

h . A . T 2 + T 1 2 - T ∞ = m . c p . T 1 - T 2 Δ t

Onde:

A = A l a t + 2 . A b a s e = π D L + 2 × π D 2 4

A = π × 0,5 × 0,95 + 2 × π × 0,5 2 4

A = 1,885   m 2

m = ρ . V o l = ρ . π D 2 4 . L = 971,8 × π × 0,5 2 4 × 0,95

m = 181,27   k g

Dessa forma, substituindo os valores:

26,52 × 1,885 × T 2 + 80 2 - 18 = 181,27 × 4197 × 80 - T 2 45 × 60

25 T 2 + 2000 - 900 = 22542 - 281,78 . T 2

306,78 . T 2 = 21442

Resposta

T 2 = 69,9 ° C

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