Exercícios Resolvidos de Esforços Internos em Vigas

Russell Charles Hibbeler, Resistência dos Materiais, 7ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010, pp. 200-6.38.

Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga.

Passo 1

O exercício quer que a gente esboce os diagramas da força cortante V e do momento fletor M F l para a viga da figura.

Devemos resolver esses exercício da mesma forma que resolvemos outros exercícios parecidos:

  • Fazendo um diagrama de corpo livre da viga;
  • Aplicando as condições de equilíbrio na viga;
  • Realizando uma análise dos esforços internos nela;
  • E, finalmente, esboçando os diagramas de força cortante e momento fletor,

...mas dessa vez, temos a dificuldade adicional de lidar com essa força distribuída com o formato trapezoidal visto na imagem.

Então vamos começar pelo primeiro passo, que é o:

Nesse caso, tendo em mente:

  • Que no engaste em B , nós vamos ter uma reação na vertical V B , uma reação na horizontal H B e um momento M ;
  • E que, como não há nenhuma outra força horizontal nessa viga, a reação na horizontal H B vai ser nula/inexistente,

...o nosso DCL (diagrama de corpo livre) fica assim:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Feito o DCL, podemos seguir para o próximo passo que é o:

Aqui, podemos aplicar o equilíbrio de forças na horizontal e o equilíbrio de momentos em relação a um ponto.

Antes de fazer esses cálculos, é útil entender como a carga distribuída vai afetar a viga.

Para facilitar esse entendimento, podemos dividir a carga distribuída em duas cargas distribuídas menores:

A primeira vai ser constante, com valor de 12   k N / m , e vai agir como uma força equivalente de 12   k N / m 3   m = 36   k N bem no meio da viga.

A segunda vai ser triangular: ela vai variar linearmente entre 0   k N / m e 6   k N / m entre os pontos A e B .

Ela vai agir como uma força equivalente de:

6   k N / m 3   m 2 = 9   k N

...que vai estar localizada na centroide do triângulo, a 1 / 3 do comprimento de 3   m da viga a partir do ponto B .

Essas forças equivalentes estão representadas na figura abaixo, nas cores laranja e verde, respectivamente:

Tendo em mente essas forças equivalentes, podemos agora aplicar o equilíbrio de forças na horizontal:

∑ F V = 0

V B - 36   k N - 9   k N = 0

Que nos diz que:

V B = 45   k N

E o equilíbrio de momentos em relação ao ponto B :

∑ M B = 0

9   k N 1   m + 36   k N 1,5   m - M = 0

Que nos diz que:

M = 63   k N * m

Passo 3

Agora que conhecemos os esforços (forças e momentos) externos atuantes na viga, podemos seguir para a:

Para essa viga, só precisamos fazer uma seção para analisar os esforços internos ao longo de todo o comprimento de 3   m da viga.

(Isso porque essa viga só possui descontinuidades nas suas extremidades A e B .)

Fazendo essa seção, devemos ficar com um desenho semelhante ao desenho abaixo:

Observe como nesse desenho, tivemos que indicar uma equação que descrevesse o valor máximo da força dependendo da posição x ( 0 < x < 3   m ) que queremos avaliar.

Para encontrar essa equação, podemos dizer que a força distribuída do exercício, que varia linearmente, é dada por uma função linear:

w x = a x + b

Aí, sabendo que a força distribuída tem o valor de 12 para x = 0 :

w 0 = a * 0 + b = 12

...encontramos que:

b = 12

E sabendo que para x = 3   m , ela tem o valor de 18 :

w 3 = a * 3 + b = 18

...encontramos que:

a = 2

De tal forma que w x = a x + b é dado por:

w x = 2 x + 12

...ou ( 12 + 2 x ) , como está no desenho! :)

Agora...

Para terminar a análise, precisamos aplicar as condições de equilíbrio na viga secionada para encontrar o valor dos esforços internos V e M F l .

Mais uma vez, para aplicar essas condições de equilíbrio, é útil imaginar a força distribuída como duas forças distribuídas menores:

A primeira constante, igual à 12 , que atua como uma força equivalente ( 12 ) ( x ) bem no meio dessa seção de viga de comprimento x .

E a segunda triangular, igual à 2 x , que atua como uma força equivalente 2 x x / 2 = x 2 no centroide do triângulo, localizado à 1 / 3 de distância da seção:

Com essas forças equivalentes em mente, conseguimos aplicar o equilíbrio de forças na vertical:

∑ F V = 0

- 12 x - x 2 - V = 0

Que nos diz que:

V = - x 2 - 12 x

E o equilíbrio de momentos em relação ao ponto da seção

∑ M = 0

M F l + x 2 x 3 + 12 x x 2 = 0

Que nos diz que:

M F l = - x 3 3 - 6 x 2

Passo 4

Por fim, chegamos ao último passo, que são os:

Para a força cortante V , nós temos uma função quadrática V x = - x 2 - 12 x :

  • Com uma concavidade para baixo; (uma vez que a sua segunda derivada é negativa)
  • E que varia de V 0 = 0 até V 3   m = - 45   k N .

Dessa forma, o seu diagrama fica assim:

Já para o momento fletor M F l , nós temos uma função de 3º grau M F l x = - ( x 3 / 3 ) - 6 x 2 :

  • Com uma concavidade para baixo para valores de x maiores que 0 ; (uma vez que a sua segunda derivada é negativa para esses valores de x )
  • E que varia de M F l 0 = 0 até M F l 3   m = - 63   k N * m .

Sendo assim, vamos ter um o seguinte diagrama para o momento fletor:

Resposta

Ver diagramas acima.

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