Exercícios Resolvidos de Esforços Internos em Vigas

Russell Charles Hibbeler, Resistência dos Materiais, 7ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010, pp. 199-6.31.

A viga T está sujeita ao carregamento mostrado. Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor.

Passo 1

O exercício quer que a gente esboce os diagramas da força cortante V e do momento fletor M F l na viga da figura.

Como sempre, o primeiro elemento de uma resolução de um exercício desse tipo é o:

Nesse caso:

  • O apoio móvel em A vai realizar somente uma reação V A na vertical;
  • E o apoio fixo em B vai realizar uma reação H B na horizontal (que vai acabar sendo nula e pode ser omitida do diagrama de corpo livre) e uma reação V B na vertical.

Dessa forma, o nosso DCL (diagrama de corpo livre) fica assim:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Feito o DCL, podemos seguir para o próximo elemento da resolução, que é o:

Aqui, podemos aplicar:

  • O equilíbrio de forças na vertical;
  • E o equilíbrio de momentos em relação a um ponto.

Aplicando o equilíbrio de forças na horizontal, temos:

∑ F V = 0

Para fazer esse somatório de forças, precisamos da força equivalente à carga distribuída de 3   k N / m .

Como ela está distribuída ao longo de um comprimento de 3   m , temos que a sua força equivalente vai ser:

3   k N / m 3   m = 9   k N

Dessa forma, o somatório de forças fica assim:

V A + V B - 10   k N - 9   k N = 0

O que significa que:

V A + V B = 19   k N

Em seguida, podemos aplicar o equilíbrio de momentos em relação ao ponto B (lembre-se de que você pode aplicar em relação a qualquer ponto, ok? Para este caso, eu achei que o ponto B ficaria mais simples):

∑ M B = 0

Em relação ao ponto B , vamos ter:

  • Um momento no sentido anti-horário ( + ) gerado pela distribuição uniforme de 3   k N / m , que age com uma força equivalente de 9   k N no meio da região da distribuição, tendo um braço de 1,5   m em relação ao ponto B , como mostra a imagem abaixo:
  • Um momento no sentido horário ( - ) gerado por V A com um braço de 6   m ;
  • E um momento no sentido anti-horário ( + ) gerado pela força de 10   k N com um braço de 8   m .

Dessa forma, o somatório de momentos fica assim:

9   k N 1,5   m - V A 6   m + 10   k N 8   m = 0

Isolando V A , encontramos que:

V A = 15,58   k N

E, substituindo isso na expressão V A + V B = 19   k N que encontramos anteriormente, encontramos que:

V B = 3,42   k N

Passo 3

Agora que conhecemos todos os esforços (forças e momentos) externos atuantes na nossa viga, podemos seguir para o próximo elemento da resolução, a:

Na nossa viga, existem descontinuidades (nesse caso, forças concentrados ou o início ou fim de forças distribuídas) nos pontos C , A e D e B .

Então devemos analisar as seções entre C e A , as seções entre A e D e as seções entre D e B :

Para as seções entre C e A ( 0 < x < 2   m ) , o equilíbrio de forças na vertical:

∑ F V = 0

...nos diz que:

- 10 - V = 0

V = - 10   k N

Enquanto que o equilíbrio de momentos:

∑ M = 0

...nos diz que:

10 x + M F l = 0

M F l = - 10 x

Show!

1ª situação analisada!

Passo 4

Já para as seções entre A e D ( 2   m < x < 5   m ) , o equilíbrio de forças na vertical fica assim:

∑ F V = 0

- 10 + V A - V = 0

Isolando V e substituindo V A = 15,58   k N , temos que:

V = V A - 10 = 15,58 - 10

V = 5,58   k N

Enquanto que o equilíbrio de momentos fica assim:

∑ M = 0

10 x - V A x - 2 + M F l = 0

Isolando M F l , temos:

M F l = V A x - 2 - 10 x

Substituindo V A = 15,58   k N e fazendo a distributiva, obtemos que:

M F l = 15,58 x - 2 - 10 x = 15,58 x - 31,16 - 10 x

O que significa que:

M F l = 5,58 x - 31,16

Pronto!

2ª situação analisada!

Passo 5

obs: Pessoal, repararam que na última seção a gente fez o corte da direita para a esquerda? Isso foi feito para simplificar o cálculo e não precisar ficar escrevendo todas as forças novamente. A única coisa que temos de lembrar é que os sentidos de V e M F l vão se inverter, fora isso é tudo igualzinho!

Por fim, para as seções entre D e B ( 5   m < x < 8   m ) , o equilíbrio de forças fica assim:

∑ F V = 0

V + V B - 3   k N / m 8   m - x = 0

Isolando V , temos:

V = 3 8 - x - V B

Fazendo a distributiva e substituindo V B = 3,42   k N , encontramos que:

V = 24 - 3 x - 3,42

V = 20,58 - 3 x

Quanto ao equilíbrio de momentos em relação ao ponto da seção:

∑ M = 0

...precisamos perceber que a força distribuída de 3   k N / m vai gerar um momento no sentido horário ( - ) com uma força equivalente de 3   k N / m 8   m - x e um braço de 8   m - x / 2 .

Dessa forma, o somatório de momentos fica assim:

V B 8   m - x - M F l - 3   k N / m 8   m - x 8   m - x 2 = 0

Isolando M F l , temos:

M F l = V B 8 - x - 3 8 - x 2 2

Desenvolvendo essa expressão e substituindo V B = 3,42   k N , temos:

M F l = 3,42 8 - x - 3 64 - 16 x + x 2 2

M F l = 27,36 - 3,42 x - 96 + 24 x - 3 2 x 2

Arrumando isso, encontramos que:

M F l = - 3 2 x 2 + 20,58 x - 68,64

Rá!

3ª Situação Analisada! Terminamos a análise dos esforços internos.

Passo 6

Por fim, chegamos ao último elemento da resolução, que são os:

Para a força cortante V , temos:

  • Que ela é de - 10   k N quando 0 < x < 2   m ;
  • Que ela é de 5,58   k N quando 2   m < x < 5   m ;
  • E que ela segue a equação V ( x ) = 20,58 - 3 x quando 5   m < x < 8   m , variando linearmente entre V 5   m = 20,58 - 3 5 = 5,58   k N e V 8   m = 20,58 - 3 8 = - 3,42   k N .

Dessa forma, o diagrama da força cortante V fica assim:

Passo 7

Para o momento fletor M F l , temos que:

  • Ele varia linearmente de acordo com a equação:
  • M F l x = - 10 x

    entre os pontos M F l 0 = 0 e M F l 2   m = - 20   k N * m ;

  • Ele varia linearmente de acordo com
  • M F l = 5,58 x - 31,16

    entre os pontos M F l 2   m = - 20   k N * m e M F l 5   m = - 3,26   k N * m ;

  • E que ele varia de acordo com a função quadrática

M F l ( x ) = - ( 3 / 2 ) x 2 + 20,58 x - 68,6

entre os pontos M F l 5   m = - 3,26   k N * m e M F l 8   m = 0 .

Para completar o diagrama de momento fletor, é interessante saber qual é o valor máximo ou mínimo de M F l quando ele varia de acordo com a função quadrática no trecho 5   m < x < 8   m .

Para tanto, podemos derivar e igualar à zero a função quadrática M F l ( x ) = - ( 3 / 2 ) x 2 + 20,58 x - 68,6 :

d - ( 3 / 2 ) x 2 + 20,58 x - 68,6 d x = - 3 x + 20,58 = 0

Isolando x nessa expressão acima, conseguimos descobrir o ponto de máximo ou mínimo da função quadrática:

3 x = 20,58

x = 20,58 3 = 6,86   m

Substituindo esse valor na função quadrática, conseguimos calcular o seu valor de máximo ou mínimo:

M F l 6,86   m = - 3 2 6,86 2 + 20,58 6,86 - 68,6

M F l 6,86   m = 1,99   k N * m

Sabendo disso, podemos finalmente esboçar o nosso diagrama completo do momento fletor:

Resposta

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas