Exercícios Resolvidos de Esforços Internos em Vigas

Ferdinand P. Beer et al., Mecânica dos materiais, 5ª ed. Porto Alegre: AMGH, 2011, pp. 336-5.3.

Para a viga e carregamento mostrados, a trace os diagramas de força cortante e momento fletor e ( b ) determine as equações das curvas de força cortante e momento fletor.

Passo 1

O exercício quer que a gente:

  • Determine as equações que descrevem a força cortante V e o momento fletor M F l para a viga mostrada;
  • E esboce os diagramas de força cortante e momento fletor a partir dessas equações.

Como sempre em um exercício desse tipo, o primeiro passo é fazer o:

Nesse caso, tendo em mente:

  • Que no engaste em C , nós vamos ter uma reação na vertical V C , uma reação na horizontal H C e um momento M ;
  • E que, como não há nenhuma outra força horizontal nessa viga, a reação na horizontal H C vai ser nula/inexistente,

...o nosso DCL (diagrama de corpo livre) fica assim:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Feito o DCL, podemos seguir para o próximo passo que é o:

Aqui, temos duas condições de equilíbrio que podemos aplicar:

  • O equilíbrio de forças na vertical;
  • E o equilíbrio de momentos em relação a um ponto.

Aplicando o equilíbrio de forças na vertical, temos:

F V = 0

E realizando esse somatório, encontramos que:

V C - P - P = 0

V C = 2 P

Em seguida, aplicamos o equilíbrio de momentos em relação ao ponto C :

M C = 0

Fazendo esse somatório:

  • Sabendo que as forças P vão gerar momentos com braços 2 a e a em relação ao ponto C ;
  • Sabendo que a força V C não vai gerar nenhum momento em relação ao ponto C ;
  • E considerando que os momentos positivos ( + ) são aqueles no sentido anti-horário,

...encontramos que:

P * 2 a + P * a - M = 0

M = 3 P a

Passo 3

Agora que já conhecemos todos os esforços (forças e momentos) externos atuantes na nossa viga, podemos seguir para a:

Existem descontinuidades (nesse caso, forças e momentos concentrados) nos pontos A , B e C dessa viga.

Então devemos analisar as seções entre A e B e as seções entre B e C dessa viga.

Usando um eixo x começando no ponto A e sabendo que não haverá nenhum esforço interno normal nessa viga (uma vez que não há nenhuma força na horizontal), essa análise fica assim:

Agora, para terminar a análise, precisamos aplicar as condições de equilíbrio em cada situação.

Para as seções entre A e B ( 0 < x < a ) , temos o equilíbrio de forças na vertical:

F V = 0

Que nos diz que:

- P - V = 0

V = - P

E também temos o equilíbrio de momentos em relação ao ponto da seção:

M = 0

Que nos diz que:

P x + M F l = 0

M F l = - P x

Já para as seções entre B e C ( a < x < 2 a ) , o equilíbrio de forças na vertical fica assim:

F V = 0

- P - P - V = 0

V = - 2 P

Enquanto que o equilíbrio de momentos em relação ao ponto da seção fica assim:

M = 0

P x + P x - a + M F l = 0

M F l = - 2 P x + P a

Com o que fizemos até aqui, já conseguimos responder a letra ( b ) da questão, mas ainda falta os diagramas da força cortante V e do momento fletor M F l para respondermos a letra ( a ) !

Passo 4

Por fim, chegamos ao último passo, que são os:

Para a força cortante V , temos que ela vale - P quando 0 < x < a e que ela vale - 2 P quando a < x < 2 a .

Dessa forma, o diagrama da força cortante V fica assim:

Quanto ao momento fletor M F l , ele é descrito por duas equações de primeiro grau de x :

M F l x = - P x ,   p a r a   0 < x < a e - 2 P x + P a ,   p a r a   a < x < 2 a

De acordo com a primeira equação, M F l 0 = 0 e M F l a = - P a , enquanto que de acordo com a segunda equação, M F l ( a ) também é igual à - P a e M F l 2 a = - 3 P a .

Como as equações que descrevem o momento fletor são de primeiro grau, as linhas que conectam esses pontos ( M F l 0 = 0 , M F l a = - P a e M F l 2 a = - 3 P a ) no diagrama de momento fletor são retas.

Dessa forma, o diagrama do momento fletor M F l fica assim:

E pronto!

Com esses diagramas dos esforços internos, respondemos ao item ( a ) e finalizamos o exercício.

Resposta

a   Ver diagramas acima.

b   V x = - P ,   p a r a   0 < x < a e - 2 P ,   p a r a   a < x < 2 a

&

M F l x = - P x ,   p a r a   0 < x < a e - 2 P x + P a ,   p a r a   a < x < 2 a

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