Exercícios Resolvidos de Esforços Internos em Vigas

Ferdinand P. Beer et al., Mecânica dos materiais, 5ª ed. Porto Alegre: AMGH, 2011, pp. 348-5.44.

Trace os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga e o carregamento mostrados na figura, e determine o valor máxima absoluto ( a ) da força cortante e ( b ) do momento fletor.

Passo 1

O exercício quer que a gente esboce os diagramas e determine os valores máximos da força cortante V e do momento fletor M F l na viga A C D B da figura.

Como sempre, começamos um exercício desse tipo fazendo o:

No caso desse exercício, temos que pensar o que as forças de 120   N nos pontos E e F vão gerar na viga principal A C D B .

Os pontos E e F estão conectados à viga pelos pontos C e D , então as forças de 120   N vão atuar nos pontos C e D da viga.

Mas como existe uma distância horizontal de 60   m m entre os pontos E e C e entre os pontos F e D , as forças de 120   N também vão gerar um momento concentrado de...

120   N 60   m m = 7200   N * m m = 7,2   N * m

...nos pontos C e D da nossa viga.

Tendo isso em mente, e sabendo:

  • Que o apoio móvel em B vai realizar somente uma reação “ V B ” na vertical;
  • E que o apoio fixo em A vai realizar uma reação “ H A ” na horizontal (que vai acabar sendo nula e pode ser omitida do diagrama de corpo livre) e uma reação “ V A ” na vertical,

...o nosso DCL (diagrama de corpo livre) fica assim:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Feito o DCL, o próximo ingrediente ou passo da nossa resolução é o:

Aqui, temos duas condições de equilíbrio que podemos aplicar:

  • O equilíbrio de forças na vertical;
  • E o equilíbrio de momentos em relação a um ponto.

Aplicando o equilíbrio de forças na vertical, temos:

∑ F V = 0

E realizando esse somatório, encontramos que:

V A - 120 - 120 + V B = 0

V A + V B = 240   N

Em seguida, podemos aplicar o equilíbrio de momentos em relação ao ponto A :

∑ M A = 0

Em relação à esse ponto, vamos ter os seguintes momentos atuando:

  • O momento no sentido anti-horário ( + ) gerado por V B com um braço de 720   m m = 0,72   m ;
  • Os momentos no sentido horário ( - ) gerados pelas forças de 120   N em C e em D , com braços de 240   m m = 0,24   m e 480   m m = 0,48   m , respectivamente;
  • E os momentos concentrados em C e em D de 7,2   N * m .

Dessa forma, o somatório de momentos fica assim:

0,72 V B - 0,24 120 - 0,48 120 - 7,2 - 7,2 = 0

Isolando V B , encontramos que:

V B = 140   N

E, substituindo esse valor na expressão V A + V B = 240   N que encontramos anteriormente, encontramos que:

V A = 100   N

Passo 3

Agora que já conhecemos todos os esforços (forças e momentos) externos atuantes na nossa viga, podemos seguir para o próximo ingrediente de uma boa resolução, que é a:

Existem descontinuidades (nesse caso, forças e momentos concentrados) nos pontos A , C , D e B dessa viga.

Então temos que analisar os esforços internos nas seções entre A e C , nas seções entre C e D e nas seções entre D e B da viga:

Feitos esses desenhos, precisamos aplicar as condições de equilíbrio em cada situação para terminar a análise.

Para as seções entre A e C ( 0 < x < 0,24   m ) , temos o equilíbrio de forças na vertical:

∑ F V = 0

Que nos diz que:

V A - V = 0

V = V A = 100   N

E também temos o equilíbrio de momentos em relação ao ponto da seção:

∑ M = 0

Que nos diz que:

- V A x + M F l = 0

Isolando M F l e substituindo V A = 100   N , encontramos que:

M F l = V A x = 100 x

Em seguida, para as seções entre C e D ( 0,24   m < x < 0,48   m ) , o equilíbrio de forças na vertical fica assim:

∑ F V = 0

V A - 120 - V = 0

Isolando V e substituindo V A = 100   N , encontramos que:

V = V A - 120 = 100 - 120

V = - 20   N

E o equilíbrio de momentos em relação ao ponto da seção fica assim:

∑ M = 0

- V A x - 7,2 + 120 ( x - 0,24 ) + M F l = 0

Isolando M F l , temos:

M F l = V A x + 7,2 - 120 x - 0,24

Substituindo V A = 100   N e fazendo a distributiva em “ - 120 x - 0,24 ”, temos:

M F l = 100 x + 7,2 - 120 x + 28,8

O que significa que:

M F l = 36 - 20 x

Por fim, para as seções entre D e B , o equilíbrio de forças fica assim:

∑ F V = 0

V + V B = 0

O que nos diz que:

V = - V B = - 140   N

Enquanto que o equilíbrio de momentos fica assim:

∑ M = 0

V B 0,72 - x - M F l = 0

Isolando M F l e substituindo V B = 140   N , temos que:

M F l = ( 140 ) ( 0,72 - x )

Fazendo a distributiva, isso nos diz que:

M F l = 100,8 - 140 x

E assim terminamos a análise dos esforços internos!

Passo 4

Mas espera, ainda faltam os:

Bora lá fazer eles!

Encontramos no passo anterior que, nos diferentes trechos da nossa viga, a força cortante V assume os valores V = 100   N , V = - 20   N e V = - 140   N .

Então o diagrama da força cortante fica assim:

E desse diagrama, ainda observamos que o valor máximo absoluto V m á x da força cortante é:

V m á x = 140   N

Em seguida, para o momento fletor M F l , temos 3 equações.

De acordo com a primeira:

M F l = 100 x  para  0 < x < 0,24   m ,

...o momento fletor varia linearmente entre M F l 0 = 0 e M F l 0,24 = 100 0,24 = 24   N * m .

De acordo com a segunda:

M F l = 36 - 20 x  para  0,24   m < x < 0,48   m ,

...o momento fletor varia linearmente entre M F l 0,24 = 36 - 20 0,24 = 31,2   N * m e M F l 0,48 = 36 - 20 0,48 = 26,4   N * m .

E, por fim, de acordo com a terceira:

M F l = 100,8 - 140 x  para  0,48   m < x < 0,72   m ,

...o momento fletor varia linearmente entre M F l 0,48 = 100,8 - 140 0,48 = 33,6   N * m e M F l 0,72 = 100,8 - 140 0,72 = 0 .

Dessa forma, o diagrama do momento fletor fica assim:

E desse diagrama, ainda observamos que o valor máximo absoluto M F l m á x do momento fletor é:

M F l m á x = 33,6   N * m

E pronto!

Finalizamos assim o exercício e o resultado de todo esse trabalho é um:

Resposta

a   V m á x = 140   N

b   M F l m á x = 33,6   N * m

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