Exercícios Resolvidos de Teorema Pi

Elaboração própria

A perda de carga h p é uma variável muito importante no estudo de escoamento em dutos. No Sistema Internacional, a perda de carga é medida em metros. Sua fórmula é:

h p = f   L   D V 2   2 g

Onde L é o comprimento do tubo, D é o diâmetro do mesmo, V é a velocidade média do fluido, g é a gravidade e f é o fator de atrito. (a) Expresse as dimensões das variáveis L ,   D ,   V ,   g   e   h p   (b) Qual a dimensão do fator de atrito? (c) Existe algum grupo pi na equação? Qual(is)?

OBS: o número 2 no denominador é adimensional.

Passo 1

Ora ora! Temos aqui um exercício no assunto de Análise Dimensional que fala de perda de carga... Que que é isso? Isso não é outra parte da matéria?

Calma, calma! Você leu certo. Esse aqui é um exercício de Análise Dimensional mesmo. Mas não se preocupe, não vamos calcular a perda de carga! Vamos analisar as dimensões dessas variáveis aí, ok? Então vamos nessa!

A letra a pede para expressarmos as dimensões de L , D , V ,   g e h p em função das dimensões básicas. Quem são as dimensões básicas mesmo? Já vou te lembrar:

M   ( m a s s a ) L   ( c o m p r i m e n t o ) T   t e m p o Θ ( t e m p e r a t u r a )

Começando com L, que é o comprimento do tubo. A dimensão é comprimento é... comprimento mesmo! Então:

L =   L

Atenção! O que está do lado esquerdo é a variável comprimento do tubo. Do lado direito, dentro das chaves, o L maiúsculo representa a dimensão básica comprimento.

Ou seja, essa equação está dizendo pra gente: “As dimensões da variável que está do lado esquerdo são essas que estão no lado direito dentro das chaves.” Ficamos combinados assim? 😊

Ok! Próxima variável: diâmetro do tubo. Olha, se eu te dissesse o valor do diâmetro no Sistema Internacional, eu te diria que o diâmetro são alguns metros, certo?

Metros indica comprimento. Logo, a dimensão do diâmetro do tubo também é comprimento:

D =   L

Agora é a vez da velocidade. Velocidade no Sistema Internacional é medida em m / s . Ou seja, em termos de dimensões, isso significa c o m p r i m e n t o / t e m p o . Então:

V =   L T =   L T - 1

Por sua vez, a gravidade no Sistema Internacional é medida em m / s 2 . Então, as dimensões são c o m p r i m e n t o / t e m p o 2

g =     L T - 2

Finalmente, o enunciado diz que a perda de carga é medida em metros. Então, a dimensão de h p é o próprio comprimento.

h p =     L

Eeee! Encontramos as dimensões das variáveis L , D , V ,   g e h p em função só das dimensões básicas. Show! Podemos ir para letra b!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Ok... Ainda não ouvimos falar nesse tal fator de atrito f . Porééém, o enunciado me deu uma equação com ele. E além disso, pelo o que fizemos até agora no Passo 1, temos a dimensão de todas as outras variáveis dessa equação.

A ideia aqui é substituir as dimensões dessas variáveis na fórmula e assim encontrar a dimensão de f . Partiu? Vem comigo!

A fórmula do enunciado é:

h p = f   L   D V 2   2 g

Substituindo h p = L = D =     L

V =   L T - 1

g =     L T - 2

E sabendo que o número 2 do denominador é adimensional, temos:

L = f   L   L ( L T - 1 ) 2   L T - 2

Simplificando

L = f   ( L ) 2 ( T - 1 ) 2   L T - 2

L = f   ( L ) 2 L

f =   L / L

f = 1

Opa! A dimensão do fator de atrito deu 1! O que isso significa?

Que o fator de atrito não tem dimensão! É adimensional!

Passo 3

A letra c pergunta se tem grupo pi na equação. O que é grupo pi mesmo?

Grupo pi é um sinônimo para número adimensional! Por sinal, acabamos de encontrar um número adimensional no Passo 2, que é o fator de atrito. 😊

Encontramos tudo o que o exercício queria. UHUL!

Resposta

(a) L = L , D = L , V   =   L T - 1 , g =     L T - 2 , h p = L

(b) O fator de atrito não tem dimensão, ou seja, é adimensional!

(c) Sim! O fator de atrito é um número adimensional, logo, é um grupo pi.

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