Exercícios Resolvidos de Teorema Pi

White, F., Mecânica dos Fluidos, 6ª ed. Porto Alegre: AMGH Editora, 2011, pp. 341, ex. P 5.18

Em condições de escoamento laminar, a vazão volumétrica Q através de um pequeno orifício capilar de seção triangular de lado b e comprimento L é uma função de viscosidade μ , da queda de pressão por unidade de comprimento ∆ p / L e de b . Usando o Teorema Pi, reescreva essa relação em forma adimensional. Como varia a vazão volumétrica se o lado b for duplicado?

Passo 1

Então galera esse nosso primeiro exercício é relativamente simples, só toma cuidado, não sai pegando toda variável que você ver pela frente, lê quais delas são função de alguma coisa.

Nesse caso vemos que a vazão Q é função da viscosidade μ , da queda de pressão ∆ p / L e da largura b .

Logo nosso problema é encontrar os grupos pi ou números adimensionais de:

Q = f μ ,   b , ∆ p L

Temso então 4 variáveis de dimensões:

Q = L ³ T - 1

μ = M L - 1 T - 1

b = L

∆ p L = M L - 1 T - 2 L = M L - 2 T - 2

Logo temos 3 dimensões M , L   e   T .

Isso significa que existem pelo menos 1 grupo pi.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos então tentar montar esse grupo pi. Como queremos observar a vazão vamos colocar as otras três variáveis como repetitivas:

Π 1 = μ a b b ∆ p L c Q = M 0 L 0 T 0

M L - 1 T - 1 a L b M L - 2 T - 2 c L ³ T - 1 = M 0 L 0 T 0

M a + c L - a + b - 2 c + 3 T - a - 2 c - 1 = M 0 L 0 T 0

Igualando os expoentes correspondentes de cada dimensão:

a + c = 0 - a + b - 2 c + 3 = 0 - a - 2 c - 1 = 0

Da primeira equação:

a = - c

Substituindo a primeira na terceira: c - 2 c - 1 = 0

c = - 1

Logo

a = 1

Resolvendo a segunda equação:

- a + b - 2 c + 3 = 0

- 1 + b + 2 + 3 = 0

b = - 4

Logo nosso pi é:

Π 1 = μ b - 4 ∆ p L - 1 Q

Ou,

Q = Π 1 b 4 ∆ p L μ

Logo se duplicamos b , Q aumenta 2 4 = 16 vezes.

Resposta

Duplicando b , Q aumenta 16 vezes.

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