Exercícios Resolvidos de Teorema Pi

White, F., Mecânica dos Fluidos, 6ª ed. Porto Alegre: AMGH Editora, 2011, pp. 342, ex. P 5.34

(Adaptada) Com uma boa aproximação, a condutividade térmica k de um gás depende apenas da massa específica ρ , do livre caminho médio l , da constante R do gás e da temperatura absoluta T . Encontre o(s) grupo(s) adimensionais.

Passo 1

Mais um problema de adimensionalização pelo método dos grupos Pis!

Mas nesse temos um detalhe, uma nova dimensão apareceu, a temperatura. Comumente representada pela letra Θ , theta maiúscula, para não confundirmos com T de tempo.

Nosso problema pode ser escrito como:

k = f ρ , l , R , T

De dimensões:

k = M L T - 3 Θ - 1

ρ = M L - 3

l = L

R = L 2 T - 2 Θ - 1

T = Θ

Temos cinco variáveis e quatro dimensões, logo temos pelo menos um grupo pi:

Isso não nos dá escolha a não ser ρ , l , R , T como variáveis repetitivas.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Montamos nosso adimensional:

ρ a l b R c T d k = M 0 L 0 T 0

M L - 3 a L b L 2 T - 2 Θ - 1 c Θ d M L T - 3 Θ - 1 = M 0 L 0 T 0

M a + 1 L - 3 a + b + 2 c + 1 T - 2 c - 3 Θ - c + d - 1 = M 0 L 0 T 0

Logo nosso sistema fica:

a + 1 = 0 - 3 a + b + 2 c + 1 = 0 - 2 c - 3 = 0 - c + d - 1 = 0

Da equação 3:

c = - 3 2

Substituindo em 4:

3 2 + d - 1 = 0

d = - 1 2

Da equação 1:

a = - 1

Substituindo a e c na segunda equação:

3 + b - 3 + 1 = 0

b = - 1

Logo nosso pi é:

Π = k ρ l R 3 T

Resposta

Π = k ρ l R 3 T

k h i d r o g ê n i o = 0,182   W / ( m . K )

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