Exercícios Resolvidos de Teorema Pi

White, F., Mecânica dos Fluidos, 6ª ed. Porto Alegre: AMGH Editora, 2011, pp. 342, ex. P 5.28

Uma viga simplesmente apoiada de diâmetro D , comprimento L e módulo de elasticidade E é submetida a um escoamento transversal de fluido de velocidade V , massa específica ρ e viscosidade μ . A deflexão central δ é considerada uma função de todas essas variáveis. ( a ) Reescreva essa função proposta na forma adimensional. ( b ) Admita que se saiba que δ é independente de μ , inversamente proporcional a E e dependente somente de ρ V 2 , não de ρ e V separadamente. Simplifique a função adimensional adequadamente. Dica: considere L , ρ e V variáveis repetitivas.

Passo 1

Mais um problema de análise dimensional. Logo vamos montar nossa função e determinar nossas variáveis repetitivas:

δ = f ( D , L , E , V , μ , ρ )

As dimensões são:

δ = L

D = L

L = L

E = M L - 1 T - 2

V = L T - 1

μ = M L - 1 T - 1

ρ = M L - 3

Temos sete variáveis e três dimensões, logo temos quatro grupos pi.

O problema nos recomenda utilizar V , L , ρ como variáveis repetitivas, e na dúvida são sempre boas.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos montar o primeiro grupo pi:

L a V b ρ c δ = M 0 L 0 T 0

L a L T - 1 b M L - 3 c L = M 0 L 0 T 0

M c L a + b - 3 c + 1 T - b = M 0 L 0 T 0

Montamos o sistema:

c = 0 a + b - 3 c + 1 = 0 - b = 0

Já temos duas variáveis definidas b e c , logo a :

a + 0 - 0 + 1 = 0

a = - 1

Π 1 = δ L

Os próximos pis:

Para a viscosidade, temo o número de Reynolds, que para deixar tudo calculado, vamos calcular:

L a V b ρ c μ = M 0 L 0 T 0

L a L T - 1 b M L - 3 c M L - 1 T - 1 = M 0 L 0 T 0

M c + 1 L a + b - 3 c - 1 T - b - 1 = M 0 L 0 T 0

c + 1 = 0 a + b - 3 c - 1 = 0 - b - 1 = 0

Das equações 1 e 3 temos:

c = - 1

b = - 1

Substituindo em 2

a - 1 + 3 - 1 = 0

a = - 1

Logo

Π 2 = μ ρ V L

Para o diâmetro, o calculo é o mesmo da deflexão, logo:

Π 3 = D L

Para o módulo de elasticidade E :

L a V b ρ c E = M 0 L 0 T 0

L a L T - 1 b M L - 3 c M L - 1 T - 2 = M 0 L 0 T 0

M c + 1 L a + b - 3 c - 1 T - b - 2 = M 0 L 0 T 0

O sistema fica:

c + 1 = 0 a + b - 3 c - 1 = 0 - b - 2 = 0

Das equações 1 e 3:

c = - 1

b = - 2

Substituindo na equação 2:

a - 2 + 3 - 1 = 0

a = 0

Logo

Π 4 = E ρ V 2

A função fica como:

δ L = f μ ρ V L , D L , E ρ V 2

Passo 3

Se δ é independente de μ , podemos tirar a variável da nossa função.

δ L = f D L , E ρ V 2

Repare que se tivessemos escolhido a viscosidade como variável repetitiva, teríamos que refazer o problema. Claro que a dica nos ajudou muito neste item ( b ) .

Nosso valor de E naturalmente é influencidado por ρ V 2 logo não precisamos fazer mudanças também, apenas inverter o adimensional de E para ser inversamente proprocional a δ .

δ L = f D L , ρ V 2 E

E podemos tirar este adimensional da função já que sabemos o comportamento do adimensional, ficando com o resultado:

δ L = ρ V 2 E f D L

δ L E ρ V 2 = f D L

Veja que normalmente para chegarmos a estas conclusões devemos fazer experimentos que mostrem a melhor forma de representar o adimensional.

Resposta

a δ L = f μ ρ V L , D L , E ρ V 2

b δ L E ρ V 2 = f D L

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