Exercícios Resolvidos de Teorema Pi

White, F., Mecânica dos Fluidos, 6ª ed. Porto Alegre: AMGH Editora, 2011, pp. 342, ex. P 5.27

Ao estudar o transporte de areia pelas ondas oceânicas, A. Shields, em 1936, postulou que o limiar de tensão de cisalhamento τ induzida pelas ondas no fundo, requerida para mover partículas, depende da gravidade g , do tamanho d da partícula e da sua massa específica ρ p , da massa específica ρ e da viscosidade μ da água. Encontre grupos adimensionais adequados para esse problema, que em 1936 resultou no célebre diagrama de transporte de areia de Shields.

Passo 1

Fala rapaziada!

Mais um probleminha de análise dimensional em que vamos aplicar o teorema pi. Vamos ver nossas variáveis:

τ = f ( g , d , ρ p , ρ , μ )

Que possuem as seguintes dimensões:

τ = M L - 1 T - 2

g = L T - 2

d = L

ρ p = M L - 3

ρ = M L - 3

μ = M L - 1 T - 1

Temos seis variáveis e três dimensões, logo temos pelo menos três grupos pi.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Escolherei g , d , ρ como nossas variáveis repetitivas, e agora vamos encontrar o adimensional para τ :

g a d b ρ c τ = M 0 L 0 T 0

L T - 2 a L b M L - 3 c M L - 1 T - 2 = M 0 L 0 T 0

M c + 1 L a + b - 3 c - 1 T - 2 a - 2 = M 0 L 0 T 0

Montamos o sistema:

c + 1 = 0 a + b - 3 c - 1 = 0 - 2 a - 2 = 0

Da primeira equação:

c = - 1

Da terceira equação:

a = - 1

Substituindo na segunda equação:

- 1 + b - 3 - 1 - 1 = 0

b = - 1

Logo o primeiro Pi é:

Π 1 = τ ρ g d

No segundo grupo pi será o de ρ p :

g a d b ρ c ρ p = M 0 L 0 T 0

L T - 2 a L b M L - 3 c M L - 3 = M 0 L 0 T 0

M c + 1 L a + b - 3 c - 3 T - 2 a = M 0 L 0 T 0

Monstando o sistema temos:

c + 1 = 0 a + b - 3 c - 3 = 0 - 2 a = 0

Resolvendo o sistema:

c = - 1

a = 0

b = 0

Logo o pi é:

Π 2 = ρ p ρ

E finalmente o terceiro grupo adimensional:

g a d b ρ c μ = M 0 L 0 T 0

L T - 2 a L b M L - 3 c M L - 1 T - 1 = M 0 L 0 T 0

M c + 1 L a + b - 3 c - 1 T - 2 a - 1 = M 0 L 0 T 0

Montamos nosso sistema:

c + 1 = 0 a + b - 3 c - 1 = 0 - 2 a - 1 = 0

Da primeira equação:

c = - 1

Da última equação:

a = - 1 2

E susbtituindo na segunda equação:

- 1 2 + b - 3 - 1 - 1 = 0

b = 1 2 - 2 = - 3 2

Logo nosso último pi é:

Π 3 = μ ρ g d 3

Resposta

τ ρ g d = f ρ p ρ , μ ρ g d 3

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