Exercícios Resolvidos de Teorema Pi

White, F., Mecânica dos Fluidos, 6ª ed. Porto Alegre: AMGH Editora, 2011, pp. 342, ex. P 5.26

Um pêndulo tem um período de oscilação T que é considerado dependente do seu comprimento L , da massa m , do ângulo de balanço θ e da aceleração da gravidade g . Um pêndulo de 1 m de comprimento, com uma massa de 200 g, é testado sobre a Terra, determinando-se um período de 2,04 s para uma oscilação de 20°. ( a ) Qual é o s eu período para uma oscilação de 45°? Um pêndulo semelhante, construído com L = 30   c m e m = 100   g , é posto para oscilar na Lua ( g = 1,62   m / s 2 ) com θ = 20 ° . ( b ) Qual será o seu período?

Passo 1

Outro problema de análise dimensional que não é muito complicado, o problema aqui é saber identificar adimensionais dentro das variáveis. Chega mais!

A função do problema é:

T = f ( L , m , θ , g )

De dimensões:

T = T

L = L

m = M

θ = 1

g = L T - 2

Ué, o ângulo θ não é dado em medida de “graus” ou ° ?

Na verdade, ângulos são considerados adimensionais, então já temos um grupo pi definido!

Temos portanto três dimensões e cinco variáveis, o que nos dá pelo menos dois grupos pis, sendo que um já descobrimos que é o ângulo θ .

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Passo 2

Arbitrariamente escolhi L , m , g como nossas variáveis repetitivas. Até porque são as que sobram.

Logo:

L a m b g c T = M 0 L 0 T 0

L a M b L T - 2 c T = M 0 L 0 T 0

L a + c M b T - 2 c + 1 = M 0 L 0 T 0

Logo temos o sistema:

a + c = 0 b = 0 - 2 c + 1 = 0

Isso nos dá:

a = - 1 2

b = 0

c = 1 2

Então nosso adimensional é:

Π 1 = T g L

Finalmente:

T g L = f ( θ )

Passo 3

Na letra ( a ) é pedido para calcularmos o período de um pêndulo para outro ângulo. Nossa relação adimensional não permite calcularmos isso, porque não conhecemos como é a variação do adimensional em relação a θ , ou seja, não conhecemos a função f .

Portanto é necessário testar e obter mais dados para aproximarmos um valor de período.

Passo 4

Já a letra ( b ) , nós podemos calcular, porque o ângulo está fixado em 20 ° , então podemos usar o valor de Π 1 para calcularmos o problema com novo pêndulo na Lua:

Π 1 = c o n s t a n t e

T g L 1 = T g L 2

2,04 9,81 1 = T 2 1,62 0,3

T 2 = 2,04 9,81 1 1,62 0,3 = 2,75   s

Resposta

T g L = f ( θ )

( a ) Não é possível calcular, pois não conhecemos a função que relaciona os dois adimensionais;

b 2,75   s

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