Atrito Estático + Atrito Cinético

Teoria Completa

Imagina que você esbarrasse com esse problema na sua prova:

Um bloco tem massa m = 5   k g e está apoiado em um plano inclinado de ângulo θ = 45 ° . Os coeficientes de atrito estático e cinético entre o bloco e o plano são, respectivamente, μ e = 0,6 e μ c = 0,5 . Dado que o bloco é abandonado do repouso, determine o movimento do bloco.

Nos problemas de atrito vistos até agora, éramos informados qual era o tipo de movimento do corpo. Se o corpo estivesse parado, ou na iminência do movimento, sabíamos que era pra usarmos o atrito estático. Já com o corpo em movimento acelerado, deveríamos usar o atrito cinético. Sacou que nesse exemplo ele não comentou nada sobre o movimento mas que, muito pelo contrário, pediu pra você descrever? Vamos com tudo pra resolver essa parada.

Começamos pelo desenho:

No diagrama acima, não adicionamos ainda a força de atrito, vamos pensar juntos. Temos primeiramente que analisar se o bloco vai se mover ou não, para isso, usaremos o que aprendemos sobre atrito estático. O sentido da “tendência do deslocamento” é aquele que aponta para a descida do plano inclinado, portanto, a força de atrito que “segura” o movimento aponta para cima.

Sabendo o sentido da força, sabemos o que precisa acontecer para o corpo permanecer parado, a resultante no sentido do plano inclinado deve ser zero. Aprendemos que o corpo estará na iminência do movimento, ou seja, a F a t estará fazendo o seu máximo para aguentar a força exercida pelo peso quando:

F a t , m á x = μ e N = μ e m g c o s 45 °

Portanto:

F a t , m á x = 0,6   .   5   .   10   . 2 2 = 21,21   N

Então, o corpo permanecerá em repouso se P s e n θ < F a t , m á x

Substituindo os valores:

P s e n θ = 5   .   10   . 2 2 = 35,35   N  

Opa! A força peso está sendo maior que a força de atrito máximo, portanto, o corpo irá descer o plano. Sabemos, no entanto, que a força de atrito continua atuando, e no mesmo sentido do caso estático. Podemos então aplicar a segunda lei de Newton:

P s e n θ - F a t = m a

Sabemos que o valor da F a t quando o bloco está em movimento é

F a t = μ c N

E sabemos que, aplicando a primeira lei de Newton no eixo normal ao plano inclinado, temos o valor da normal:

N - P c o s θ = 0 → N = P c o s θ

Aplicando os dois últimos resultados na equação da segunda lei:

P s e n θ - μ c   P c o s θ = m a

E chegamos assim ao valor de a :

a = P s e n θ - μ c c o s θ m → a = g ( s e n θ - μ c c o s θ )

Substituindo os valores:

a = 10   2 2 - 0,5 2 2 = 3,53   m / s 2

Portanto, o movimento que o bloco executará neste caso é um movimento acelerado com aceleração de módulo 3,53   m / s 2 , no sentido de descida do plano inclinado.

Resumindo, em problemas que temos que analisar o movimento, devemos seguir o seguinte passo-a-passo:

  1. Descobrir a direção do movimento
  2. Colocar a F a t no sentido contrário à tendência do movimento
  3. Avaliar se a força aplicada é menor ou igual à f s , m á x
  4. Se for menor ou igual, o corpo está parado
  5. Se for maior, o corpo está em movimento, e a sua aceleração é encontrada através da segunda lei de Newton, considerando a força de atrito cinético agindo no corpo.

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Exercício Resolvido #1

UFF-P1-2014.1-2Q

Dois blocos A e B , um sobre o outro, deslocam-se rampa abaixo com uma força F aplicada sobre o bloco B . Os blocos movem-se conjuntamente a velocidade constante de 15,0   c m / s . O coeficiente de atrito cinético entre o bloco B e a rampa é 0,450 , e o coeficiente de atrito estático entre os blocos é 0,800 . A rampa faz 30,0 ° com a superfície horizontal. O bloco A da figura pesa 314   N e o bloco B pesa 470   N .

a ) Desenhe dois diagramas do corpo livre separados mostrando as forças que atuam sobre A e sobre B .

b ) Determine a força F necessária para que os blocos apresentem o movimento descrito.

c ) Quais são as intensidades e o sentido da força de atrito no bloco A ?

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Passo 1

a )

Para o D.C.L dos blocos, temos:

Bloco A :

Bloco   B :

Passo 2

b )

Para determinar a força F , vamos montar as equações de movimento para os dois blocos, como os blocos se movem com velocidade constante, a força resultante em ambos é nula. Para o bloco A , analisando somente o movimento em x , ou seja, ao longo da rampa, temos:

F a t = P a . sen ⁡ θ

Para o bloco B :

F + F ' a t - F a t - P b . sen ⁡ θ = 0

Substituindo o valor da F ' a t , que é cinética, temos:

F = P b + P a . sen ⁡ θ - μ . P a + P b cos ⁡ θ ⏟ N '

Substituindo, temos:

F = 470 + 314 . sen ⁡ 30 ° - 0,450 . 314 + 470 . cos ⁡ 30 °

F ≈ 86,5   N

Passo 3

c )

No bloco A , temos que a força de atrito é dada por:

F a t = P a . sen ⁡ θ = 314 . s e n 30 ° = 157 N

Resposta

a ) Ver figuras.

b ) F ≈ 86,5   N

c ) F a t = 157 N

Exercício Resolvido #2

PUCRIO-P1-2015.1 Q3

Um corpo de massa m 1 = 20,0   k g escorrega sobre um plano horizontal com coeficiente de atrito cinético μ C = 0,30 e estático μ e = 0,40 , como na figura. Um conjunto de polia e corda sem massa e sem atrito liga este corpo a outro corpo de massa m 2 = 10,0   k g , pendurado na vertical.

a) Calcule a aceleração do sistema.

b) Calcule a nova aceleração do sistema se colocamos um corpo de massa m 3 = 15   k g firmemente preso sobre o corpo 1.

c) Para a situação do item b , qual deveria ser a massa m 2 mínima de modo que m 1 e m 3 se movessem em qualquer situação?

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Passo 1

Vamos desenhar as forças que estão agindo sobre os corpos no sistema:

Aplicando a segunda lei de Newton para o bloco m 1 . Sabemos que no eixo y não tem aceleração, então:

N = P 1 = m 1 g

Aplicando no eixo x :

T - F a t = m 1 a

Aplicando a segunda lei de Newton para o bloco m 2 :

P 2 - T = m 2 a

m 2 g - T = m 2 a

Agora temos duas equações para fazer um sistema:

+ T - F a t = m 1 a m 2 g - T = m 2 a

Somando as duas equações:

m 2 g - F a t = m 1 + m 2 a

Substituindo os dados temos que:

100 - F a t = 30 a

Agora precisamos saber se a força de atrito é estática ou cinética. Vamos calcular a força de atrito estática máxima.

F a t e M á x = μ e . N = μ e . m 1 g = 0,40   .   20   .   10 = 80   N

Como a F a t e M á x < 100 , ou seja, é menor que a força que impulsiona o bloco. Então o bloco está em movimento, e a força de atrito é na verdade a força de atrito cinética. Logo, voltando a nossa equação:

100 - F a t = 30 a

100 - μ C . N = 30 a

100 - 0,30   .   200 = 30 a

a = 4 3   m / s 2

Passo 2

b)

Nesse caso vamos ter exatamente o mesmo sistema, chegando à equação:

m 2 g - F a t = m 1 + m 2 + m 3 a

100 - F a t = 45 a

Calculando a força de atrito estática máxima:

F a t e M á x = μ e . N

F a t e M á x = 0,40   .   20 + 15 10 = 140   N

Como F a t e M á x > 100 , ou seja, é maior que a força que impulsiona os blocos m 1 e m 3 . Então o sistema vai ficar no regime estático, prevalecendo a força de atrito estática. Dessa forma, a aceleração do sistema é nula.

Passo 3

c)

Para que o sistema entre no regime cinético, temos que:

m 2 g > F a t e M á x

No item anterior calculamos essa força de atrito:

m 2 . 10 > 140

m 2 > 14   k g

Resposta

a) a = 4 3   m / s 2

b) a = 0

c) m 2 > 14   k g

Exercício Resolvido #3

PUCRIO-P1-B-2013.1 Q3 b c

Seja a situação apresentada na figura abaixo, consistindo de dois blocos de massas m = 16   k g (bloco menor) e M = 100   k g (bloco maior). Uma força horizontal de módulo F = 500   N é aplicada ao bloco menor. O coeficiente de atrito estático entre os blocos é 0,40 e o de atrito cinético é 0,35. O coeficiente de atrito estático entre o bloco e o solo é 0,30 e o coeficiente de atrito cinético é 0,25.

a) Nesta situação, o conjunto dos dois blocos se movimenta na horizontal? Justifique sua resposta através de cálculos explícitos.

b) Calcule a força de atrito entre os dois blocos, argumentando, com cálculos, se esta força é estática ou cinética.

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Passo 1

(a)

Supondo que o sistema não se movimenta na horizontal, a força que se compensa ao atrito do solo é a própria força aplicada F (analisando o conjunto como um todo). Nesta hipótese, temos pra a 2a Lei de Newton: Na vertical:

N s o l o - M g - F ’ a t = 0

Na horizontal:

F a t , s o l o - N 21 = 0

F ’ a t é a força de atrito entre os dois blocos e vai depender se o bloco menor esta escorregando ou não. Como estamos supondo que o sistema esta inicialmente parado na horizontal, podemos observar que N 12 = F e então a força máxima de atrito estática entre os blocos será

F a t M á x = 0,40   .   500 = 200   N

Como o peso do bloco menor é:

P b l o c o = 16   .   9,8 = 156,8   N

E este valor é menor que o valor máximo do atrito estático entre os blocos, então o bloco menor fica parado e F ’ a t = 156,8   N . Assim:

N s o l o = M g + F ’ a t = 16 + 100 . 9,8 = 1136,8   N

Assim:

F M Á X - s o l o = 0,30   .   N s o l o = 0,30   .   1136,8 = 341   N

Como F = 500   N > F M A X - s o l o então o sistema se movimenta na horizontal.

Passo 2

(b)

Como os dois blocos estão em movimento, então N 12 ≠ F (conclusão do item b ). Temos que calcular o valor de N 12 (para depois comparar o peso do bloco menor com o valor da força máxima de atrito estático entre os blocos) A 2ª lei de Newton fica neste caso (veja diagrama de forças):

Bloco menor:

F - N 12 = m a         e q . 1

Bloco maior:

Horizontal:

N 12 - F a t , s o l o = M a       e q . 2

Vertical:

N s o l o - M g - F ’ a t = 0

N s o l o = M g + F ’ a t       e q . 3

Fazendo ( e q . 1 ) + ( e q . 2 ) temos:

F - F a t , s o l o = m + M a       e q . 4

a   = F - F a t , s o l o m + M         ( e q . 5 )

Como os blocos estão em movimento.

F a t , s o l o = 0,25   .   N s o l o = 0,25 . M g + F ’ a t         ( e q . 6 )

Daí de ( e q . 1 ) , ( e q . 5 ) e ( e q . 6 ) , temos N 12 em função de F ’ a t .

N 12 = F - m a = F - m F - F a t , s o l o m + M

N 12 =   F   –   m F -   0,25 . M g + F ’ a t m + M         ( e q . 7 )

Temos duas opções para F ’ a t : ou ela é igual a m g (bloco menor não cai) ou ela é cinética e menor que m g (bloco cai). Supondo que não caia:

F ’ a t = m g

e de ( e q . 7 ) obtemos:

N 12 = F - m F - 0,25 . M g + m g m + M = 470,2   N

Com este valor de N 12 tem-se:

Força Máxima de atrito estático entre blocos   = 0,4   .   470,2 = 188   N

Como o peso do bloco menor é 16   .   9,8 = 156,8 que é MENOR que a força de atrito estática máxima entre os blocos, então a suposição de que F ’ a t é estática é correta. Assim, o bloco menor está parado em relação à parede do bloco maior. [Se supusermos que inicialmente o bloco menor está se movendo, calculamos N 12 através de F ’ a t cinética e chegaremos a uma inconsistência.]

CONCLUSÃO: a força de atrito entre os blocos é ESTÁTICA e seu valor é o peso do bloco menor, 156,8   N .

Resposta

(a) O sistema se movimenta na horizontal.

(b) A força de atrito entre os blocos é estática e seu valor é 156,8   N

Exercício Resolvido #4

UFRJ-Física 1-P1 2012.1 Q1

Um bloco de massa M está sob a ação de uma força horizontal F → constante sobre uma superficie horizontal sem atrito. Sobre ele há um bloco de massa m , preso à esquerda por um fio ideal. Este fio passa por uma roldana ideal que encontra-se fixa a uma parede vertical, e o conecta ao bloco de massa M . Os segmentos do fio são paralelos ao plano horizontal; vide a figura abaixo. Suponha que haja atrito entre os blocos em contato entre si. Considere como conhecidos os valores dos coeficientes de atrito estático μ e e cinético μ c , as massas M e m e o módulo da aceleração da gravidade g .

  1. Isole os blocos e represente por meio de um diagrama de corpo livre todas as forças que atuam em cada um deles.
  2. Suponha inicialmente que os blocos estejam em repouso. Determine o valor máximo do módulo de F → , F m a x para que o sistema permaneça em repouso.
  3. Considere agora que F → , cujo módulo é igual a F ' , seja capaz de colocar os blocos em movimento com aceleração constante. Para o intervalo de tempo no qual os blocos permanecem em contanto entre si, determine os vetores aceleração de cada bloco em função de F ' , μ c , m , M e g .
  4. Determine o módulo da tração do fio, para o caso do item anterior c)
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Passo 1

Primeiramente vamos escrever os dados no enunciado

Dados   m M μ e μ c g

Vamos fazer isso para verificar depois cada resposta para ver se está de acordo com os dados do problema.

Passo 2

a)

Vamos responder as perguntas do passo a passo para colocar as forças, primeiro do bloco de massa M .

  1. A massa dele é considerada?
  2. Sim, ele tem massa.

  3. Ela esta encostada em alguma superfície?
  4. Sim, o bloco está apoiado no chão e no bloco de massa m .

  5. Tem algum fio?
  6. Sim, existe um fio.

  7. Tem mola?
  8. Não, não existe mola atuando.

  9. Tem atrito?

Sim, existe atrito entre os blocos

O DCL fica

Passo 3

Vamos responder as perguntas do passo a passo para colocar as forças, primeiro do bloco de massa m .

  1. A massa dele é considerada?
  2. Sim, ele tem massa.

  3. Ela esta encostada em alguma superfície?
  4. Sim, o bloco está apoiado no bloco de massa M .

  5. Tem algum fio?
  6. Sim, existe um fio.

  7. Tem mola?
  8. Não, não existe mola atuando.

  9. Tem atrito?

Sim, existe atrito entre os blocos

O DCL fica

Repara que quando o bloco de baixo é puxado, para que o bloco de cima fique parado a força de atrito deve ser para a direita, porque ao puxar o bloco de baixo ele puxa o fio, que por sua vez puxa o bloco de cima para a esquerda.

A força de atrito no bloco de baixo será oposta porque o bloco de cima tende a segurar o movimento.

Passo 4

b)

O valor máximo da força vai ser quando a força de atrito estática entre os blocos for máxima. O que isso significa? Que podemos fazer

F a t = N m ⋅ μ e

Vamos fazer o equilíbrio em cada bloco.

Começando no bloco de massa m

Vamos começar pelo e i x o   y .

P m = N m

N m = m g

Passo 5

Fazendo equilíbrio no e i x o   x agora

T = F a t

T = m g μ e

Passo 6

Vamos para o equil��brio no bloco de massa M

No e i x o   y

N M = N m + P M

N M = m g + M g

N M = m + M g

Passo 7

Enquanto isso no e i x o   x

T + F a t = F m á x

T + m g μ e = F m á x

m g μ e + m g μ e = F m á x

Então

F m á x = 2 m g μ e

Passo 8

c)

Vamos reescrever os dados

Dados m M μ e μ c g F '

O DCL nesse caso fica igual a diferença é que os blocos vão se mover. O diferente dessa questão é que o bloco de massa m vai se mover para a esquerda enquanto o bloco de massa M vai se mover para a direita.

Isso faz com que

a m = - a

a M = a

Passo 9

As equações ao longo do e i x o   y não vai mudar, relembrando

N m = m g

N M = m + M g

Vamos agora para o equilíbrio ao longo do e i x o   x do bloco de massa m , tomando como sentido positivo de x forças atuanto para direita.

F R = F a t - T

Temos o caso da força de atrito dinâmica

- m a = N m μ c - T

- m a = m g μ c - T

Passo 10

Isso não resolve o problema, vamos agora para o equilíbrio da bloco M ao longo do e i x o   x

F R = F ' - T - F a t

M a = F ' - T - m g μ c

Passo 11

Temos

- m a = m g μ c - T M a = F ' - T - m g μ c

Vamos multiplicar a primeira equação por - 1

m a = - m g μ c + T M a = F ' - T - m g μ c

Somando as duas equações

m a + M a = - m g μ c + T + F ' - T - m g μ c

m + M a = - 2 m g μ c + F '