Teoria Completa
Imagina que você esbarrasse com esse problema na sua prova:
Um bloco tem massa e está apoiado em um plano inclinado de ângulo . Os coeficientes de atrito estático e cinético entre o bloco e o plano são, respectivamente, e . Dado que o bloco é abandonado do repouso, determine o movimento do bloco.
Nos problemas de atrito vistos até agora, éramos informados qual era o tipo de movimento do corpo. Se o corpo estivesse parado, ou na iminência do movimento, sabíamos que era pra usarmos o atrito estático. Já com o corpo em movimento acelerado, deveríamos usar o atrito cinético. Sacou que nesse exemplo ele não comentou nada sobre o movimento mas que, muito pelo contrário, pediu pra você descrever? Vamos com tudo pra resolver essa parada.
Começamos pelo desenho:
No diagrama acima, não adicionamos ainda a força de atrito, vamos pensar juntos. Temos primeiramente que analisar se o bloco vai se mover ou não, para isso, usaremos o que aprendemos sobre atrito estático. O sentido da “tendência do deslocamento” é aquele que aponta para a descida do plano inclinado, portanto, a força de atrito que “segura” o movimento aponta para cima.
Sabendo o sentido da força, sabemos o que precisa acontecer para o corpo permanecer parado, a resultante no sentido do plano inclinado deve ser zero. Aprendemos que o corpo estará na iminência do movimento, ou seja, a estará fazendo o seu máximo para aguentar a força exercida pelo peso quando:
Portanto:
Então, o corpo permanecerá em repouso se
Substituindo os valores:
Opa! A força peso está sendo maior que a força de atrito máximo, portanto, o corpo irá descer o plano. Sabemos, no entanto, que a força de atrito continua atuando, e no mesmo sentido do caso estático. Podemos então aplicar a segunda lei de Newton:
Sabemos que o valor da quando o bloco está em movimento é
E sabemos que, aplicando a primeira lei de Newton no eixo normal ao plano inclinado, temos o valor da normal:
Aplicando os dois últimos resultados na equação da segunda lei:
E chegamos assim ao valor de :
Substituindo os valores:
Portanto, o movimento que o bloco executará neste caso é um movimento acelerado com aceleração de módulo , no sentido de descida do plano inclinado.
Resumindo, em problemas que temos que analisar o movimento, devemos seguir o seguinte passo-a-passo:
- Descobrir a direção do movimento
- Colocar a no sentido contrário à tendência do movimento
- Avaliar se a força aplicada é menor ou igual à
- Se for menor ou igual, o corpo está parado
- Se for maior, o corpo está em movimento, e a sua aceleração é encontrada através da segunda lei de Newton, considerando a força de atrito cinético agindo no corpo.
Show? Bora praticar!
Exercício Resolvido #1
Dois blocos e , um sobre o outro, deslocam-se rampa abaixo com uma força aplicada sobre o bloco . Os blocos movem-se conjuntamente a velocidade constante de . O coeficiente de atrito cinético entre o bloco e a rampa é , e o coeficiente de atrito estático entre os blocos é . A rampa faz com a superfície horizontal. O bloco da figura pesa e o bloco pesa .
Desenhe dois diagramas do corpo livre separados mostrando as forças que atuam sobre e sobre .
Determine a força necessária para que os blocos apresentem o movimento descrito.
Quais são as intensidades e o sentido da força de atrito no bloco ?
Passo 1
Para o D.C.L dos blocos, temos:
Bloco :
Bloco:
Passo 2
Para determinar a força , vamos montar as equações de movimento para os dois blocos, como os blocos se movem com velocidade constante, a força resultante em ambos é nula. Para o bloco , analisando somente o movimento em , ou seja, ao longo da rampa, temos:
Para o bloco :
Substituindo o valor da , que é cinética, temos:
Substituindo, temos:
Passo 3
No bloco , temos que a força de atrito é dada por:
Resposta
Ver figuras.
Exercício Resolvido #2
Um corpo de massa escorrega sobre um plano horizontal com coeficiente de atrito cinético e estático , como na figura. Um conjunto de polia e corda sem massa e sem atrito liga este corpo a outro corpo de massa , pendurado na vertical.
a) Calcule a aceleração do sistema.
b) Calcule a nova aceleração do sistema se colocamos um corpo de massa firmemente preso sobre o corpo 1.
c) Para a situação do item , qual deveria ser a massa mínima de modo que e se movessem em qualquer situação?
Passo 1
Vamos desenhar as forças que estão agindo sobre os corpos no sistema:
Aplicando a segunda lei de Newton para o bloco . Sabemos que no eixo não tem aceleração, então:
Aplicando no eixo :
Aplicando a segunda lei de Newton para o bloco :
Agora temos duas equações para fazer um sistema:
Somando as duas equações:
Substituindo os dados temos que:
Agora precisamos saber se a força de atrito é estática ou cinética. Vamos calcular a força de atrito estática máxima.
Como a , ou seja, é menor que a força que impulsiona o bloco. Então o bloco está em movimento, e a força de atrito é na verdade a força de atrito cinética. Logo, voltando a nossa equação:
Passo 2
b)
Nesse caso vamos ter exatamente o mesmo sistema, chegando à equação:
Calculando a força de atrito estática máxima:
Como , ou seja, é maior que a força que impulsiona os blocos e . Então o sistema vai ficar no regime estático, prevalecendo a força de atrito estática. Dessa forma, a aceleração do sistema é nula.
Passo 3
c)
Para que o sistema entre no regime cinético, temos que:
No item anterior calculamos essa força de atrito:
Resposta
a)
b)
c)
Exercício Resolvido #3
Seja a situação apresentada na figura abaixo, consistindo de dois blocos de massas (bloco menor) e (bloco maior). Uma força horizontal de módulo é aplicada ao bloco menor. O coeficiente de atrito estático entre os blocos é 0,40 e o de atrito cinético é 0,35. O coeficiente de atrito estático entre o bloco e o solo é 0,30 e o coeficiente de atrito cinético é 0,25.
a) Nesta situação, o conjunto dos dois blocos se movimenta na horizontal? Justifique sua resposta através de cálculos explícitos.
b) Calcule a força de atrito entre os dois blocos, argumentando, com cálculos, se esta força é estática ou cinética.
Passo 1
(a)
Supondo que o sistema não se movimenta na horizontal, a força que se compensa ao atrito do solo é a própria força aplicada (analisando o conjunto como um todo). Nesta hipótese, temos pra a 2a Lei de Newton: Na vertical:
Na horizontal:
é a força de atrito entre os dois blocos e vai depender se o bloco menor esta escorregando ou não. Como estamos supondo que o sistema esta inicialmente parado na horizontal, podemos observar que e então a força máxima de atrito estática entre os blocos será
Como o peso do bloco menor é:
E este valor é menor que o valor máximo do atrito estático entre os blocos, então o bloco menor fica parado e . Assim:
Assim:
Como então o sistema se movimenta na horizontal.
Passo 2
(b)
Como os dois blocos estão em movimento, então (conclusão do item ). Temos que calcular o valor de (para depois comparar o peso do bloco menor com o valor da força máxima de atrito estático entre os blocos) A 2ª lei de Newton fica neste caso (veja diagrama de forças):
Bloco menor:
Bloco maior:
Horizontal:
Vertical:
Fazendo temos:
Como os blocos estão em movimento.
Daí de , e , temos em função de .
Temos duas opções para : ou ela é igual a (bloco menor não cai) ou ela é cinética e menor que (bloco cai). Supondo que não caia:
e de obtemos:
Com este valor de tem-se:
Força Máxima de atrito estático entre blocos
Como o peso do bloco menor é que é MENOR que a força de atrito estática máxima entre os blocos, então a suposição de que é estática é correta. Assim, o bloco menor está parado em relação à parede do bloco maior. [Se supusermos que inicialmente o bloco menor está se movendo, calculamos através de cinética e chegaremos a uma inconsistência.]
CONCLUSÃO: a força de atrito entre os blocos é ESTÁTICA e seu valor é o peso do bloco menor, .
Resposta
(a) O sistema se movimenta na horizontal.
(b) A força de atrito entre os blocos é estática e seu valor é
Exercício Resolvido #4
Um bloco de massa está sob a ação de uma força horizontal constante sobre uma superficie horizontal sem atrito. Sobre ele há um bloco de massa , preso à esquerda por um fio ideal. Este fio passa por uma roldana ideal que encontra-se fixa a uma parede vertical, e o conecta ao bloco de massa . Os segmentos do fio são paralelos ao plano horizontal; vide a figura abaixo. Suponha que haja atrito entre os blocos em contato entre si. Considere como conhecidos os valores dos coeficientes de atrito estático e cinético , as massas e e o módulo da aceleração da gravidade .
- Isole os blocos e represente por meio de um diagrama de corpo livre todas as forças que atuam em cada um deles.
- Suponha inicialmente que os blocos estejam em repouso. Determine o valor máximo do módulo de , para que o sistema permaneça em repouso.
- Considere agora que , cujo módulo é igual a , seja capaz de colocar os blocos em movimento com aceleração constante. Para o intervalo de tempo no qual os blocos permanecem em contanto entre si, determine os vetores aceleração de cada bloco em função de , , , e .
- Determine o módulo da tração do fio, para o caso do item anterior c)
Passo 1
Primeiramente vamos escrever os dados no enunciado
Vamos fazer isso para verificar depois cada resposta para ver se está de acordo com os dados do problema.
Passo 2
a)
Vamos responder as perguntas do passo a passo para colocar as forças, primeiro do bloco de massa .
- A massa dele é considerada?
- Ela esta encostada em alguma superfície?
- Tem algum fio?
- Tem mola?
- Tem atrito?
Sim, ele tem massa.
Sim, o bloco está apoiado no chão e no bloco de massa .
Sim, existe um fio.
Não, não existe mola atuando.
Sim, existe atrito entre os blocos
O DCL fica
Passo 3
Vamos responder as perguntas do passo a passo para colocar as forças, primeiro do bloco de massa .
- A massa dele é considerada?
- Ela esta encostada em alguma superfície?
- Tem algum fio?
- Tem mola?
- Tem atrito?
Sim, ele tem massa.
Sim, o bloco está apoiado no bloco de massa .
Sim, existe um fio.
Não, não existe mola atuando.
Sim, existe atrito entre os blocos
O DCL fica
Repara que quando o bloco de baixo é puxado, para que o bloco de cima fique parado a força de atrito deve ser para a direita, porque ao puxar o bloco de baixo ele puxa o fio, que por sua vez puxa o bloco de cima para a esquerda.
A força de atrito no bloco de baixo será oposta porque o bloco de cima tende a segurar o movimento.
Passo 4
b)
O valor máximo da força vai ser quando a força de atrito estática entre os blocos for máxima. O que isso significa? Que podemos fazer
Vamos fazer o equilíbrio em cada bloco.
Começando no bloco de massa
Vamos começar pelo .
Passo 5
Fazendo equilíbrio no agora
Passo 6
Vamos para o equil��brio no bloco de massa
No
Passo 7
Enquanto isso no
Então
Passo 8
c)
Vamos reescrever os dados
O DCL nesse caso fica igual a diferença é que os blocos vão se mover. O diferente dessa questão é que o bloco de massa vai se mover para a esquerda enquanto o bloco de massa vai se mover para a direita.
Isso faz com que
Passo 9
As equações ao longo do não vai mudar, relembrando
Vamos agora para o equilíbrio ao longo do do bloco de massa , tomando como sentido positivo de forças atuanto para direita.
Temos o caso da força de atrito dinâmica
Passo 10
Isso não resolve o problema, vamos agora para o equilíbrio da bloco ao longo do
Passo 11
Temos
Vamos multiplicar a primeira equação por
Somando as duas equações