Atrito Estático + Atrito Cinético

Teoria Completa

Imagina que você esbarrasse com esse problema na sua prova:

Um bloco tem massa m = 5   k g e está apoiado em um plano inclinado de ângulo θ = 45 ° . Os coeficientes de atrito estático e cinético entre o bloco e o plano são, respectivamente, μ e = 0,6 e μ c = 0,5 . Dado que o bloco é abandonado do repouso, determine o movimento do bloco.

Nos problemas de atrito vistos até agora, éramos informados qual era o tipo de movimento do corpo. Se o corpo estivesse parado, ou na iminência do movimento, sabíamos que era pra usarmos o atrito estático. Já com o corpo em movimento acelerado, deveríamos usar o atrito cinético. Sacou que nesse exemplo ele não comentou nada sobre o movimento mas que, muito pelo contrário, pediu pra você descrever? Vamos com tudo pra resolver essa parada.

Começamos pelo desenho:

No diagrama acima, não adicionamos ainda a força de atrito, vamos pensar juntos. Temos primeiramente que analisar se o bloco vai se mover ou não, para isso, usaremos o que aprendemos sobre atrito estático. O sentido da “tendência do deslocamento” é aquele que aponta para a descida do plano inclinado, portanto, a força de atrito que “segura” o movimento aponta para cima.

Sabendo o sentido da força, sabemos o que precisa acontecer para o corpo permanecer parado, a resultante no sentido do plano inclinado deve ser zero. Aprendemos que o corpo estará na iminência do movimento, ou seja, a F a t estará fazendo o seu máximo para aguentar a força exercida pelo peso quando:

F a t , m á x = μ e N = μ e m g c o s 45 °

Portanto:

F a t , m á x = 0,6   .   5   .   10   . 2 2 = 21,21   N

Então, o corpo permanecerá em repouso se P s e n θ < F a t , m á x

Substituindo os valores:

P s e n θ = 5   .   10   . 2 2 = 35,35   N  

Opa! A força peso está sendo maior que a força de atrito máximo, portanto, o corpo irá descer o plano. Sabemos, no entanto, que a força de atrito continua atuando, e no mesmo sentido do caso estático. Podemos então aplicar a segunda lei de Newton:

P s e n θ - F a t = m a

Sabemos que o valor da F a t quando o bloco está em movimento é

F a t = μ c N

E sabemos que, aplicando a primeira lei de Newton no eixo normal ao plano inclinado, temos o valor da normal:

N - P c o s θ = 0 → N = P c o s θ

Aplicando os dois últimos resultados na equação da segunda lei:

P s e n θ - μ c   P c o s θ = m a

E chegamos assim ao valor de a :

a = P s e n θ - μ c c o s θ m → a = g ( s e n θ - μ c c o s θ )

Substituindo os valores:

a = 10   2 2 - 0,5 2 2 = 3,53   m / s 2

Portanto, o movimento que o bloco executará neste caso é um movimento acelerado com aceleração de módulo 3,53   m / s 2 , no sentido de descida do plano inclinado.

Resumindo, em problemas que temos que analisar o movimento, devemos seguir o seguinte passo-a-passo:

  1. Descobrir a direção do movimento
  2. Colocar a F a t no sentido contrário à tendência do movimento
  3. Avaliar se a força aplicada é menor ou igual à f s , m á x
  4. Se for menor ou igual, o corpo está parado
  5. Se for maior, o corpo está em movimento, e a sua aceleração é encontrada através da segunda lei de Newton, considerando a força de atrito cinético agindo no corpo.

Show? Bora praticar!

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Exercício Resolvido #1

UFF-P1-2014.1-2Q

Dois blocos A e B , um sobre o outro, deslocam-se rampa abaixo com uma força F aplicada sobre o bloco B . Os blocos movem-se conjuntamente a velocidade constante de 15,0   c m / s . O coeficiente de atrito cinético entre o bloco B e a rampa é 0,450 , e o coeficiente de atrito estático entre os blocos é 0,800 . A rampa faz 30,0 ° com a superfície horizontal. O bloco A da figura pesa 314   N e o bloco B pesa 470   N .

a ) Desenhe dois diagramas do corpo livre separados mostrando as forças que atuam sobre A e sobre B .

b ) Determine a força F necessária para que os blocos apresentem o movimento descrito.

c ) Quais são as intensidades e o sentido da força de atrito no bloco A ?

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Passo 1

a )

Para o D.C.L dos blocos, temos:

Bloco A :

Bloco   B :

Passo 2

b )

Para determinar a força F , vamos montar as equações de movimento para os dois blocos, como os blocos se movem com velocidade constante, a força resultante em ambos é nula. Para o bloco A , analisando somente o movimento em x , ou seja, ao longo da rampa, temos:

F a t = P a . sen ⁡ θ

Para o bloco B :

F + F ' a t - F a t - P b . sen ⁡ θ = 0

Substituindo o valor da F ' a t , que é cinética, temos:

F = P b + P a . sen ⁡ θ - μ . P a + P b cos ⁡ θ ⏟ N '

Substituindo, temos:

F = 470 + 314 . sen ⁡ 30 ° - 0,450 . 314 + 470 . cos ⁡ 30 °

F ≈ 86,5   N

Passo 3

c )

No bloco A , temos que a força de atrito é dada por:

F a t = P a . sen ⁡ θ = 314 . s e n 30 ° = 157 N

Resposta

a ) Ver figuras.

b ) F ≈ 86,5   N

c ) F a t = 157 N

Exercício Resolvido #2

PUCRIO-P1-2015.1 Q3

Um corpo de massa m 1 = 20,0   k g escorrega sobre um plano horizontal com coeficiente de atrito cinético μ C = 0,30 e estático μ e = 0,40 , como na figura. Um conjunto de polia e corda sem massa e sem atrito liga este corpo a outro corpo de massa m 2 = 10,0   k g , pendurado na vertical.

a) Calcule a aceleração do sistema.

b) Calcule a nova aceleração do sistema se colocamos um corpo de massa m 3 = 15   k g firmemente preso sobre o corpo 1.

c) Para a situação do item b , qual deveria ser a massa m 2 mínima de modo que m 1 e m 3 se movessem em qualquer situação?

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Passo 1

Vamos desenhar as forças que estão agindo sobre os corpos no sistema:

Aplicando a segunda lei de Newton para o bloco m 1 . Sabemos que no eixo y não tem aceleração, então:

N = P 1 = m 1 g

Aplicando no eixo x :

T - F a t = m 1 a

Aplicando a segunda lei de Newton para o bloco m 2 :

P 2 - T = m 2 a

m 2 g - T = m 2 a

Agora temos duas equações para fazer um sistema:

+ T - F a t = m 1 a m 2 g - T = m 2 a

Somando as duas equações:

m 2 g - F a t = m 1 + m 2 a

Substituindo os dados temos que:

100 - F a t = 30 a

Agora precisamos saber se a força de atrito é estática ou cinética. Vamos calcular a força de atrito estática máxima.

F a t e M á x = μ e . N = μ e . m 1 g = 0,40   .   20   .   10 = 80   N

Como a F a t e M á x < 100 , ou seja, é menor que a força que impulsiona o bloco. Então o bloco está em movimento, e a força de atrito é na verdade a força de atrito cinética. Logo, voltando a nossa equação:

100 - F a t = 30 a

100 - μ C . N = 30 a

100 - 0,30   .   200 = 30 a

a = 4 3   m / s 2

Passo 2

b)

Nesse caso vamos ter exatamente o mesmo sistema, chegando à equação:

m 2 g - F a t = m 1 + m 2 + m 3 a

100 - F a t = 45 a

Calculando a força de atrito estática máxima:

F a t e M á x = μ e . N

F a t e M á x = 0,40   .   20 + 15 10 = 140   N

Como F a t e M á x > 100 , ou seja, é maior que a força que impulsiona os blocos m 1 e m 3 . Então o sistema vai ficar no regime estático, prevalecendo a força de atrito estática. Dessa forma, a aceleração do sistema é nula.

Passo 3

c)

Para que o sistema entre no regime cinético, temos que:

m 2 g > F a t e M á x