Exercícios Resolvidos de Formas Quadráticas – Cônicas

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Enunciado

(Capítulo 13.1 – Exercício 44) Determine a função vetorial que representa a curva obtida pela interseção das duas superfícies.

O semielipsoide x 2 + y 2 + 4 z 2 = 4   ,   y ≥ 0 e o cilindro x 2 + z 2 = 1

Passo 1

Faaaala meu povo, vamos lá?

Nesse exercício temos as equações de 2 superfícies, e elas vão se encontrar em algum momento, saca?

O nosso objetivo aqui é ver quem é essa curva de intersecção entre as duas superfícies dadas

Vamos que vai ser bem mais fácil do que parece! Só precisamos parametrizar, ok?

Passo 2

Temos as superfícies

x 2 + y 2 + 4 z 2 = 4   ,   y ≥ 0 x 2 + z 2 = 1

A projeção da curva da interseção no plano xz é o circulo

x 2 + z 2 = 1

Sabendo que s e n 2 t + c o s 2 t = 1 , podemos escrever

x 2 + z 2 = 1

x = c o s t

z = s e n t

0 ≤ t ≤ 2 π

Legal, já temos x e z , agora vamos correr atrás do y

Passo 3

Como essa curva também está sobre a superfície x 2 + y 2 + 4 z 2 = 4 . Temos

y = 4 - x 2 - 4 z 2

y = 4 - cos 2 ⁡ t - 4 ( 1 - cos 2 ⁡ t )

y = 3 | c o s t |

Logo, a curva que representa a intersecção das superfícies vai ser:

r t = x , y , z

r t = cos ⁡ t ,   3 . cos ⁡ t , s e n t ,   0 ≤ t ≤ 2 π

Uhuuuu, fechou!

Resposta

r t = cos ⁡ t ,   3 . cos ⁡ t , s e n t

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