Exercícios Resolvidos de Formas Quadráticas – Cônicas

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Enunciado

Identifique a seguinte cônica:

2 x 2 - 4 x y - y 2 - 4 x - 8 y = - 14

Passo 1

Vamos escrever a equação na forma matricial. Só para lembrar se tivermos a equação

A x 2 + B y 2 + C x y + D x + E y = F

Reescrevemos ela na forma matricial, da seguinte forma

x y   A C / 2 C / 2 B ⏟ Q   x y +   D E   x y = F

Passo 2

Comparando as equação temos:

x y 2 - 2 - 2 - 1 ⏟ Q x y + - 4 - 8 x y = - 14

E olha a nossa conhecida matriz Q que apareceu ali. É com ela que começa nossas contas pra achar a equação reescrita.

Passo 3

Vamos achar os autovalores da matriz Q e seus autovetores UNITÁRIOS associados.

Escrevendo o polinômio característico de Q , temos que:

2 - λ - 1 - λ - - 2 - 2 = 0

- 2 - 2 λ + λ + λ 2 - 4 = 0

λ 2 - λ - 6 = 0

Resolvendo a equação de segundo grau, a gente encontra λ 1 = 3 e λ 2 = - 2 .

E seus autovetores UNITÁRIOS associados são:

Para λ 1 = 3 :

2 - 2 - 2 - 1 u 1 u 2 = λ 1 u 1 u 2

Autovetor UNITÁRIO associado é: u = u 1 , u 2 = ( - 2 5 , 1 5 )

Para λ 2 = - 2 :

2 - 2 - 2 - 1 v 1 v 2 = λ 2 v 1 v 2

Autovetor UNITÁRIO associado é: v = v 1 , v 2 = ( 1 5 , 2 5 )

Com os autovalores e autovetores em mãos, podemos reescrever a equação da cônica como:

x ' y ' λ 1 0 0 λ 2 x ' y ' + - 4 - 8 u 1 v 1 u 2 v 2 x ' y ' = - 14

x ' y ' 3 0 0 - 2 x ' y ' + - 4 - 8 - 2 5 1 5 1 5 2 5 x ' y ' = - 14

E multiplicando as matrizes, vamos chegar em:

3 x ' 2 - 2 y ' 2 - 20 5 y ' = - 14

Que equivale a:

3 x ' 2 - 2 y ' 2 + 10 5 y ' = - 14

Passo 4

E completando quadrados chegaremos a:

3 x ' 2 - 2 y ' 2 + 10 5 y ' + 5 5 2 = - 14 - 2 5 5 2

E finalmente:

3 x ' 2 - 2 y ' 2 + 5 5 2 = - 24

Dividindo toda a equação por - 24 , vamos chegar em:

y ' 2 + 5 5 12 - x ' 2 8 = 1

E então concluímos que a cônica que queríamos identificar é uma hipérbole no plano x ' y ' com centro em 0 , - 5 5 , e eixo real ao longo de y ' .

Repara que essa coordenada é no plano x ' y ' tá?

Resposta

Hipérbole.

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