Exercícios Resolvidos de Formas Quadráticas – Cônicas

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Enunciado

Identifique as cônicas abaixo e esboce seu gráfico, quando possível.

3 x 2 + 2 x y + 3 y 2 = 0

Passo 1

Essa cônica não está na forma que costumamos ver. Vamos escrever a forma matricial dela.

x y   3 1 1 3 ⏟ Q   x y +   0 0   x y = 0

Passo 2

Agora temos que encontrar os autovalores de Q .

Bom, para encontrar os autovalores de uma matriz 2x2 fazemos o seguinte:

Q = a 11 a 12 a 21 a 22

Precisamos fazer:

det ⁡ λ I - Q = 0

Isso implica :

λ - a 11 - a 12 - a 21 λ - a 22 = 0

Montamos um polinômio característico e resolvemos. Os valores encontrados vão ser os autovalores. Vou mostrar:

λ - a 11 λ - a 22 - - a 12 - a 21 = 0

No caso, a nossa matriz é:

Q = 3 1 1 3

O polinômio característico vai ser:

λ - 3 λ - 3 - 1 = 0

λ 2 - 6 λ + 8 = 0

Resolvendo essa equação, achamos os autovalores de Q , que são λ 1 = 2 e λ 2 = 4

Passo 3

Agora, temos de encontrar os autovetores unitários.

Para uma matriz 2x2:

Q = a 11 a 12 a 21 a 22

Com autovalores λ 1 e λ 2 vamos encontrar autovetores associados a cada autovalor.

No nosso caso:

λ 1 = 2 , λ 2 = 4

Q = 3 1 1 3

Autovetor associado a λ 1 :

Q - λ 1 U → = 0

Com U → = ( x u , y u )

A expressão matricial fica:

1 1 1 1 x u y u = 0 0

Fazendo a multiplicação matricial temos o seguinte sistema:

x u + y u = 0

x u + y u = 0

Temos:

x u = - y u

Portanto U → = x u , y u = ( - y u   ,   y u )  

Arbitrando um valor qualquer para y u , por exemplo y u = 1 temos:

U → = ( - 1 , 1 )

Porém necessitamos do autovetor unitário. Fazemos então:

u → = U → U → = - 1 2 , 1 2

Passo 4

Autovetor associado a λ 2 :

Q - λ 2 V → = 0

Com V → = ( x v , y v )

A expressão matricial fica:

- 1 1 1 - 1 x u y u = 0 0

Fazendo a multiplicação matricial temos o seguinte sistema:

x v - y v = 0

x v - y v = 0

Temos:

x v = y v

Portanto V → = x v , y v = y v   ,   y v  

Arbitrando um valor qualquer para y v , por exemplo y v = 1 temos:

V → = 1,1

Porém necessitamos do autovetor unitário. Fazemos então:

v → = V → V → = 1 2 , 1 2

Passo 5

Então, reescrevendo a equação temos:

x ' y ' 2 0 0 4 x ' y ' + 0 0 - 1 2 1 2 1 2 1 2 x ' y ' = 0

E multiplicando as matrizes, chegamos em:

2 x ' 2 + 4 y ' 2 = 0

É uma cônica degenerada. Representa um ponto.

Passo 6

Geometricamente:

Resposta

É uma cônica degenerada: um ponto

Geometricamente:

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