Exercícios Resolvidos de Formas Quadráticas – Cônicas

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Enunciado

Identifique a seguinte cônica:

x 2 + 4 x y + y 2 + x + 5 y = 7 2

Passo 1

Primeiramente, verificamos que a cônica está rotacionada e transladada! Então nosso objetivo é reescrever sua equação de forma que a gente saiba dizer qual é a cônica. Vamos escrever a equação na forma matricial:

x y 1 2 2 1 ⏟ Q x y + 1 5 x y = 7 2

E olha a nossa conhecida matriz Q que apareceu ali. É com ela que começa nossas contas pra achar a equação reescrita.

Passo 2

Vamos achar os autovalores da matriz Q

Lembra é só fazer

1 - λ 2 2 1 - λ = 0

1 - λ 1 - λ - 2 . 2 = 0

λ 2 - 2 λ + 1 - 4 = 0

λ 2 - 2 λ - 3 = 0

λ 1 = 3

λ 2 = - 1

Passo 3

Agora temos que achar os autovetores unitários associados, para isso vamos ter

v = v 1 v 2

Q v = λ 1 I v

1 2 2 1 v 1 v 2 = 3 0 0 3 v 1 v 2

v 1 + 2 v 2 2 v 1 + v 2 = 3 v 1 3 v 2

Vamos ter

v 1 + 2 v 2 = 3 v 1

2 v 1 = 2 v 2

v 2 = v 1

E o autovetor associado vai ser

v = v 1 v 1

Podemos tirar esse v 1

v = 1 1

Normalizando

v = 1 2 1 2

Passo 4

Precisamos achar o outro autovetor, para isso vamos ter

u = u 1 u 2

Q u = λ 2 I u

1 2 2 1 u 1 u 2 = - 1 0 0 - 1 u 1 u 2

u 1 + 2 u 2 2 u 1 + u 2 = - u 1 - u 2

Vamos ter

u 1 + 2 u 2 = - u 1

2 u 1 = - 2 u 2

u 2 = - u 1

E o autovetor associado vai ser

u = u 1 - u 1

Podemos tirar esse u 1

u = 1 - 1

Normalizando

u = 1 2 - 1 2

Passo 5

Com os autovalores e autovetores em mãos, podemos reescrever a equação da cônica como:

x ' y ' λ 1 0 0 λ 2 x ' y ' + 1 5 v 1 u 1 v 2 u 2 x ' y ' = 7 2

x ' y ' 3 0 0 - 1 x ' y ' + 1 5 1 2 1 2 1 2 - 1 2 x ' y ' = 7 2

E multiplicando as matrizes, vamos chegar em:

3 x ' 2 - 1 y ' 2 + 6 2 x ' - 4 2 y ' = 7 2

Que equivale a:

3 x ' 2 + 2 2 x ' - y ' 2 + 4 2 y ' = 7 2

Passo 6

E completando quadrados chegaremos a:

3 x ' 2 + 2 2 x ' + 2 2 . 1 2 2 - y ' 2 + 4 2 y ' + 4 2 . 1 2 2 = 7 2 + 3 2 2 . 1 2 2 - 4 2 . 1 2 2

E finalmente:

3 x ' + 1 2 2 - y ' + 2 2 2 = 3

Dividindo toda a equação por 3 , vamos chegar em:

x ' + 1 2 2 1 - y ' + 2 2 2 3 = 1

E então concluímos que a cônica que queríamos identificar é uma hipérbole no plano x ' y ' com centro em - 1 2 , - 2 2 e semieixos 1 e 3 , ao longo dos eixos x ' e y ' , respectivamente.

Resposta

Hipérbole.

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