Exercícios Resolvidos de Função de Distribuição Acumulada

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Enunciado

Admita que o atendimento, em minutos, num caixa de um banco seja uma variável aleatória T , com densidade

f t = 0,25 t e - 0,5 t ,       t ≥ 0               e               f t = 0 ,       t < 0

a) Mostre que, de fato, f t é uma função de densidade.

b) Calcule a função de distribuição acumulada do tempo de atendimento, F t . Calcule também P T > 2 .

c) Suponha agora que o tempo de atendimento do outro caixa, X , seja uma variável aleatória com densidade

f x = 2 e - 2 x ,         x ≥ 0               e           f x = 0 ,         x < 0

Calcule P X > 2 e P 2 < X ≤ 3 .

Passo 1

Fala pessoal, bora começar mais uma questão de prova?

Essa é uma questão bem tranquila sobre distribuições de probabilidade! No item (a) queremos verificar se a função

f t = 0,25 t e - 0,5 t ,       t ≥ 0 0 ,         t < 0

é uma função de densidade de probabilidade.

As duas condições que uma função deve satisfazer para ser uma densidade de probabilidade são: f t ≥ 0 para qualquer t e

∫ - ∞ + ∞ f t   d t = 1

Essa última condição é a condição de normalização.

Passo 2

A primeira condição é fácil de verificar: sabemos que a função exponencial é sempre positiva, de modo que

e - 0,5 t > 0

Como t ≥ 0

t e - 0,5 t ≥ 0

pois o produto de funções positivas é positivo. Com isso, vemos que f t ≥ 0 para qualquer t .

Para a condição de normalização, devemos calcular

∫ - ∞ + ∞ f t   d t

Mas como f t = 0 para t negativo, essa integral fica:

∫ - ∞ + ∞ f t   d t = ∫ 0 + ∞ 0,25 t e - 0,5 t   d t

Para calcular essa integral, vamos olhar primeiro para a primitiva:

∫ t   e - k t   d t

Passo 3

Para achar essa primitiva, vamos usar integração por partes:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Escolhemos u = t e d v = e - k t   d t , de modo que

d u = d t             e           v = - 1 k e - k t

Logo,

∫ t   e - k t   d t = - t e - k t k + 1 k ∫ e - k t   d t

Essa última integral é fácil de fazer, de modo que

∫ t   e - k t   d t = - t e - k t k - e - k t k 2

Vamos usar essa primitiva no item (b) também, então guarde ela!

Passo 4

Voltando ao nosso problema do item (a), temos que

∫ - ∞ + ∞ f t   d t = ∫ 0 + ∞ 0,25 t e - 0,5 t   d t

Essa segunda integral é uma integral imprópria pois o limite é infinito. Para calcular esse tipo de integral você primeiro troca o limite de integração por y :

∫ 0 y 0,25 t e - 0,5 t   d t = 0,25   ∫ 0 y t   e - 0,5 t   d t = 0,25 - t e - 0,5 t 0,5 - e - 0,5 t 0,5 2 0 y

Na última passagem usei a primitiva que achamos no passo 3 com k = 0,5 . Fazendo as contas, obtemos

∫ 0 y 0,25 t e - 0,5 t   d t = 0,25 - y e - 0,5 y 0,5 - e - 0,5 y 0,25 + 1 0,25 = 1 - y e - 0,5 y 2 - e - 0,5 y

O próximo passo é tomar o limite com y → ∞ , aí encontramos o resultado da integral imprópria. Sabemos que

lim y → ∞ ⁡ e - 0,5 y = 0

Para o outro limite note que temos uma indeterminação do tipo ∞ / ∞ :

y e - 0,5 y = y e 0,5 y → ∞ ∞

Para calcular esse limite, derivamos o numerador e o denominador (regra de L’Hospital):

lim y → ∞ ⁡ y e 0,5 y = lim y → ∞ ⁡ 1 0,5   e 0,5 y = 1 ∞ = 0

Portanto, quando tomamos o limite os dois últimos termos desaparecem, de modo que

∫ 0 + ∞ 0,25 t e - 0,5 t   d t = 1 - 0 - 0 = 1

Portanto,

∫ - ∞ + ∞ f t   d t = 1

Com isso verificamos que f t satisfaz todas as condições necessárias para ser um f.d.p.

Passo 5

No item (b) queremos achar a função distribuição acumulada F ( t ) que representa a probabilidade de T < t :

F t = ∫ - ∞ t f t '   d t '

Repare que estou usando t ' para a variável de integração para não confundir com a variável t do limite de integração. Com isso, temos que

F t = 0,25 ∫ 0 t t ' e - 0,5 t '   d t '

Vamos usar novamente a primitiva do passo 3:

F t = 0,25 - t ' e - 0,5 t ' 0,5 - e - 0,5 t ' 0,5 2 0 t = 1 - t e - 0,5 t 2 - e - 0,5 t

Note que essa é exatamente a expressão que achamos quando calculávamos a integral imprópria. Tomando t → ∞ achamos F t = 1 , o que sempre deve ser verificado para uma probabilidade acumulada.

Todavia, essa é a expressão para t ≥ 0 . Para t < 0 , como a probabilidade é sempre nula, temos

F t = 0

Juntando tudo:

F t = 1 - t e - 0,5 t 2 - e - 0,5 t ,           t ≥ 0 0 ,               t < 0

Passo 6

No item (b) também queremos saber quanto vale P T > 2 . Para achar isso, escrevemos

P T > 2 = 1 - P T < 2

Mas P T < 2 é a probabilidade acumulada em t = 2 , de modo que

P T < 2 = F 2 = 1 - 2   e - 0,5 ⋅ 2 2 - e - 0,5 ⋅ 2 = 1 - e - 1 - e - 1 = 1 - 2 e

Portanto,

P T > 2 = 1 - 1 - 2 e = 2 e = 0,7357

Passo 7

Finalmente vamos para o item (c)!

Agora nossa distribuição de probabilidade é

f x = 2 e - 2 x ,           x ≥ 0

Vamos achar primeiro a função probabilidade acumulada:

F x = ∫ 0 x f x '   d x ' = 2 ∫ 0 x e - 2 x '   d x ' = 2 - 1 2 e - 2 x ' 0 x = 1 - e - 2 x

Observe que para x → ∞ obtemos F x = 1 como deve ser!

Para achar P X > 2 , fazemos

P X > 2 = 1 - P X < 2 = 1 - F 2

Portanto,

P X > 2 = 1 - 1 - e - 2 ⋅ 2 = e - 4

Ou ainda,

P X > 2 = 1 e 4 = 0,0183

Já para a outra probabilidade pedida:

P 2 < X ≤ 3 = F 3 - F 2 = 1 - e - 6 - 1 - e - 4 = e - 4 - e - 6

Logo,

P 2 < X ≤ 3 = 1 e 4 - 1 e 6 = 0,0158

E com isso terminamos o problema 😉.

Resposta

a) Demonstração.

b) F t = 1 - t e - 0,5 t 2 - e - 0,5 t ,           t ≥ 0 0 ,               t < 0 e P T > 2 = 2 e = 0,7357 .

c) P X > 2 = 1 e 4 = 0,0183 e P 2 < X ≤ 3 = 1 e 4 - 1 e 6 = 0,0158 .

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