Exercícios Resolvidos de Função de Distribuição Acumulada

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Enunciado

Seja uma variável aleatória X   que toma valores no conjunto 0,1 ∩   Q . F y = P X ≤ y é a sua função de distribuição (acumulada). Considere as afirmações abaixo.

a) X   é uma variável aleatória contínua.

b) F   é uma função estritamente crescente.

c) Para todo x   ∈ R, existe o limite lim y  →   x + ⁡ F y e vale lim y  →   x + ⁡ F y   =   F x .

As afirmações verdadeiras são:

Passo 1

Fala pessoal. Vamos resolver mais uma questão.

Vamos verificar uma afirmação por vez.

Mas antes disso, vamos relembrar algumas propriedades da Função de distribuição.

  • F   é crescente
  • F   é contínua a direita
  • 0   ≤   F x   ≤   1
  • P y   ≤   X   ≤   x   =   F x   -   F y -

Passo 2

Vamos verificar a letra a)

Como Q   são enumeráveis temos que 0,1 ∩   Q também é enumerável, ou seja, X   assume valores discretos logo F x será descontínua.

Passo 3

Agora vamos ver a letra b).

Sabemos que F x é crescente, mas nada podemos dizer se está é estritamente crescente, pois não conhecemos a lei de formação da F . Ou seja, nada impede de existir um subconjunto em 0,1 ∩   Q com probabilidade nula.

Passo 4

Agora só falta verificarmos a letra c)

Note que a condição Para todo ∈ R, existe o limite lim y  →   x + ⁡ F y e vale lim y  →   x + ⁡ F y   =   F x é a definição de uma função ser contínua a direita. Mas já sabemos que isso é uma propriedade da Função de distribuição.

Resposta

c)

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