Exercícios Resolvidos de Função de Distribuição Acumulada

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Enunciado

A função de densidade f de uma variável aleatória X é dada pela função cujo gráfico se encontra na figura:

e) Calcule a função de distribuição acumulada e esboce seu gráfico.

Passo 1

Nós sabemos que a FDA é a integral da função de densidade de menos infinito até x , certo? Então vamos ter que descobrir primeiro a equação da função de densidade f ( x ) .

Mas olhando o gráfico dela, vemos que é uma reta! E toda reta tem o formato f x = a x + b . Para descobrir o valor das constantes a e b , vamos usar nossos pontos conhecidos no gráfico: f 0 = 1 2

f 4 = 0

Isso dá pra gente:

1 2 = a × 0 + b 0 = 4 a + b

Resolvendo esse sisteminha, achamos que a = - 1 8 e b = 1 2 .

Então nossa função de densidade f ( x ) é:

f x = - 1 8 x + 1 2

Mas repara que no gráfico essa reta só tá desenhada para os pontos onde 0 ≤ x ≤ 4 , certo? Então esse é o intervalo que nossa função de densidade existe. Para pontos fora desse intervalo, ela vai valer zero.

Passo 2

Agora vamos lembrar a fórmula da FDA:

F x = ∫ - ∞ x f t d t

Onde esse f ( t ) é simplesmente a f ( x ) com t reescrito no lugar do x , só pra gente não confundir com o x do limite de integração. Então:

F x = ∫ 0 x - 1 8 t + 1 2 d t

Uééé, mas por que começou em zero? Porque antes disso nossa função de densidade era zero, ora bolas! Então não vai mudar nada no cálculo começar daí. Integrando temos:

- 1 16 t ² + t 2 0 x = - 1 16 x ² + x 2

Então a FDA é:

F x = - 1 16 x ² + x 2

Mas isso aí é só para 0 < x < 4 , certo? Por que é esse intervalo que a função de densidade existe. A expressão completa fica:

F x = 0   s e   x ≤ 0 - 1 16 x ² + x 2     s e   0 < x < 4   1   s e   x ≥ 4

Por que na FDA é sempre 0 se estamos antes de f ( x ) existir ( x ≤ 0 ) e 1 se estamos depois ( x ≥ 4 ).

Passo 3

Socorro mas e o gráfico disso? Isso aí é uma equação de 2º grau, gente! Ou seja, é uma parábola! Como a constante que tá multiplicando o x ² é negativa, vai ser uma parábola com a concavidade para baixo.

E a FDA sempre começa com y = 0 e termina em y = 1 , certo? Desenhando uma parábola com concavidade para baixo seguindo essas condições, teríamos isso aqui:

Resposta

F x = 0   s e   x ≤ 0 - 1 16 x ² + x 2     s e   0 < x < 4   1   s e   x ≥ 4

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