Exercícios Resolvidos de Função de Distribuição Acumulada

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Enunciado

O diâmetro de um cabo elétrico é uma variável aleatória contínua com função de densidade dada por

f x = 2 3 2 x - x 2       s e   0 ≤ x ≤ 1 0       c a s o   c o n t r á r i o

Usando a função de distribuição acumulada, determine a probabilidade do diâmetro ser maior que 0,5 .

Passo 1

Primeiro calculamos nossa FDA por:

F x = ∫ - ∞ x f t d t → F x = ∫ 0 x 2 3 2 t - t 2 d t

F x = 2 3 2 t 2 2 - t 3 3 0 x = 2 3 x ² - x 3 3

Então:

F x = 0 ,   s e   x ≤ 0 2 3 x ² - x 3 3 ,   s e   0 < x < 1 1 ,   s e   x ≥ 1

Passo 2

Nós sabemos que a FDA representa o valor de todas as probabilidades até certo x , correto? Tipo assim:

F x = P ( X ≤ x )

E o que é pedido para a gente é a probabilidade do diâmetro ser maior que 0,5 , ou seja:

P ( X > 0,5 )

Mas usando a probabilidade complementar, sabemos que:

P X > 0,5 = 1 - P ( X ≤ 0,5 )

Opa! E P ( X ≤ 0,5 ) é uma FDA, certo? Então:

P X ≤ 0,5 = F 0,5 = 2 3 0,5 ² - 0,5 3 3 = 0,1389

Então a probabilidade que queremos...

P X > 0,5 = 1 - P X ≤ 0,5 = 1 - 0,1389 = 0,8611

Passo 3

Resposta

0,8611

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