Exercícios Resolvidos de Gráfico de Funções Vetoriais

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Enunciado

Calcule o comprimento da hélice do exercício 1 (f).

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o comprimento da hélice r → t = cos ⁡ t i → + sin ⁡ t j → + t k → ,   0 ≤ t ≤ 2 π . Pra isso, nós temos um teorema que nos diz que se uma curva é definida por equações paramétricas x = f ( t ) , y = g t ,   z = h ( t ) , α ≤ t ≤ β , onde g ' ,   f ' e h ' são contínuas em [ α ,   β ] , e a curva é percorrida exatamente uma vez quando t aumenta de α até β , então o comprimento dessa curva será:

L = ∫ α β d x d t 2 + d y d t 2 + d z d t 2 d t

No nosso caso, α ,   β = [ 0 ,   2 π ] , x t = cos ⁡ t , y t = sin ⁡ t e z t = t . Então, vamos derivar as componentes do vetor r → ( t ) , elevar ao quadrado e substituir dentro da raiz, para calcular a integral no intervalo dado.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar derivando as componentes de r → t = cos ⁡ t i → + sin ⁡ t j → + t k → , que são x t = cos ⁡ t , y t = sin ⁡ t e z t = t . Assim, teremos:

d x d t = d d t cos ⁡ t = - sin ⁡ t

d y d t = d d t sin ⁡ t = cos ⁡ t

d z d t = d d t t = 1

Substituindo na raiz:

d x d t 2 + d y d t 2 + d z d t 2 = - sin ⁡ t 2 + cos ⁡ t 2 + 1 2

Elevando ao quadrado:

sin 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t + 1

Como sin 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t = 1 (é uma identidade trigonométrica), teremos:

= 1 + 1

= 2

Passo 3

Então, no intervalo [ 0 ,   2 π ] , vamos ter o comprimento da curva dado por:

L = ∫ α β d x d t 2 + d y d t 2 + d z d t 2 d t

L = ∫ 0 2 π 2   d t

Colocando a constante do lado de fora da integral e integrando em relação a t , temos:

L = 2 ∫ 0 2 π d t

= 2 t 0 2 π

Aplicando os limites de integração:

L = 2 2 π - 0

L = 2 2 π

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

2 2 π

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