Exercícios Resolvidos de Introdução à Camada-Limite

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Enunciado

(Adaptada) A extensão da camada-limite laminar sobre a superfície de uma aeronave varia com a altitude. Para uma dada velocidade, o comprimento da camada-limite laminar aumentará ou diminuirá com a altitude? Por quê? Trace um gráfico da razão entre o comprimento da camada-limite laminar em uma altitude z e o comprimento da camada-limite ao nível do mar, como função de z, até a altitude de z = 30 km, para a atmosfera-padrão.

Passo 1

Ei, jovem padawan! Vamos ver até onde essa camada-limite laminar vai. o/

Bem, para isso, vamos analisar qual é o Reynolds crítico, que no escoamento externo é esse camarada aqui

R e x ,   c r í t i c o = ρ . V . x μ

O exercício tá querendo saber o comportamento de x conforme a altitude varia. x é a posição onde a camada-limite deixa de laminar e passa a ser turbulenta. É justamente a extensão da camad-limite laminar :D

x = μ ρ R e x ,   c r í t i c o V

No nosso exemplo, a altitude varia, mas o Reynolds crítico e a velocidade estão fixos. Ok! Mas o que a altitude tem a ver com isso?

Bem, quando a altitude (que vamos chamar aqui de z) muda, a temperatura do ar muda. A nível do mar estamos a mais ou menos 20°C, mas lá aos 30 km de altitude, a temperatura pode chegar aos -50°C. Um pouquinho frio, né? Hahaha

O coração do exercício é: a massa específica ρ e a viscosidade μ dependem da temperatura! Quanto maior a altitude, menor a temperatura e menor será ρ e μ (pois é um gás). Com isso, a extensão da camada-limite laminar vai mudar. Mas como?

Então, essa é uma ótima pergunta. Para responder, vamos atrás de dados empíricos da massa específicos (vamos consultar uma tabela) e atrás de uma correlação para a viscosidade com a temperatura.

Usando a equação de Sutherland para o ar:

μ = 1,46 × 10 - 6   T 1 / 2 1 + 110,4 T

Considerando os valores de referência os valores ao nível do mar, montamos a seguinte tabela:

Com ela, conseguimos confirmar que a massa específica e a viscosidade diminuem com a altitude, porém com um detalhe: a massa específica decresce mais rapidamente. Como o comprimento da camada-limite é inversamente proporcional à massa específica, o comprimento aumenta com a altitude

x = μ ρ R e x ,   c r í t i c o V

Podemos ver isso melhor no gráfico

Então a extensão da camada-limite laminar aumenta com a altitude 😉

Resposta

Comprimento da camada-limite laminar aumenta com a altitude, pois a massa específica diminui mais rapidamente que a viscosidade com a diminuição da temperatura

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