Exercícios Resolvidos de Introdução à Variável Aleatória Contínua

UFRJ-P1-2012.2-3

O tempo de espera (em minutos) para ser atendido em um sistema de conversa on-line de uma empresa comporta-se de acordo com a seguinte função de densidade

f t = 2 t 3 ,                                                 t ≥ m 0 ,                 c a s o   c o n t r á r i o .

  1. Determine o valor de m .
  2. Calcule a probabilidade de um cliente esperar pelo menos 5 minutos dado que já esperou pelo menos 2 minutos.
  3. O administrador do sistema afirmou que 96% dos usuários esperam no máximo 5 minutos para serem atendidos. Você concorda com o administrador? Justifique a sua resposta.

Passo 1

(a)

Se isso aí é uma função de densidade, a gente sabe que:

∫ m ∞ 2 t 3   d t = 1

- t - 2 m ∞ = 1

m - 2 = 1

1 m 2 = 1

m = 1

Já que não faz sentido ter m negativo.

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Passo 2

(b)

O exercício pede uma prob. Condicional P X ≥ 5 X ≥ 2 .

P X ≥ 5 X ≥ 2 = P X ≥ 5 ∩ X ≥ 2 P X ≥ 2

Pela lógica P X ≥ 5 ∩ X ≥ 2 = P ( X ≥ 5 ) , concorda?

A interseção entre a probabilidade de X ser maior ou igual a 5 com X ser maior ou igual a 2, é igual a de X ser maior ou igual a 5, porque tudo que é maior ou igual a 5 também é maior ou igual a 2 e o inverso não é verdade. Enfim, continuando a conta:

P X ≥ 5 X ≥ 2 = P X ≥ 5 P X ≥ 2

Passo 3

P X ≥ 5 = ∫ 5 ∞ 2 t 3   d t

= - t - 2 5 ∞

= 1 25            

Pensando da mesma forma:

P X ≥ 2 = 1 4

Substituindo na fórmula lá:

P X ≥ 5 X ≥ 2 = 1 25 1 4

= 4 25

Passo 4

(c)

O exercício afirma que:

P X ≤ 5 = F 5 = 0,96

A gente sabe que:

P X ≤ 5 = 1 - P X ≥ 5

                    = 1 - 1 25          

= 24 25      

= 0,96

Logo, a gente concorda com o administrador.

Resposta

a   m = 1

b 4 25

c   s i m

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