Exercícios Resolvidos de Introdução à Variável Aleatória Contínua

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Enunciado

Uma variável aleatória X contínua tem a seguinte função densidade de probabilidade:

f x x = k x                 ,       0 ≤ x ≤ 1 3 e - 3 2 x       ,       1 ≤ x ≤ ∞ 0                     ,       x ∉ 0 , ∞

Pede-se:

  1. Qual o valor do parâmentro k para que f seja uma função de densidade de probabilidade. Apresente a função de densidade de probabilidade e seu domínio.
  2. Encontre a Probabilidade de 0 < X < 3 ?

Passo 1

Vamos começar definindo nossa função de densidade de probabilidade de maneira simples.

∫ - ∞ ∞ f x x d x = 1

Ou seja, quando integramos nossa função densidade em todo espectro, ela deve valer 100 % de toda probabilidade de se encontrar tudo que queremos. Na física usamos a função para determinar a probabilidade de encontrar uma partícula em um determinado poço de potencial.

Passo 2

  1. Sendo assim, temos que
  2. ∫ - ∞ ∞ f x x d x = ∫ - ∞ 0 f x x d x + ∫ 0 1 f x x d x + ∫ 1 ∞ f x x d x = 1

    Entretanto, sabemos quanto vale nossa função em cada um desses intervalos, não é mesmo ?

    Desta forma temos que

    ∫ 0 1 k x   d x + ∫ 1 ∞ 3 e - 3 2 x d x = 1

    Agora bastamos saber resolver as integrais. Assim

    ∫ 0 1 k x   d x = k x 2 2 0 1 = k 2

    e

    ∫ 1 ∞ 3 e - 3 2 x   d x

    Vamos fazer uma substituição simples, ou sejam - 3 2 x = u → - 3 2 d x = d u com nossos limites sendo x = 1 → u = - 3 2 e x = ∞ → u = - ∞

    Desta maneira, quando substituímos, temos

    ∫ - 3 2 - ∞ 3 e u ( - 2 3 d u ) = - 2 ∫ - 3 2 - ∞ e u d u

    E lembrando que a integral/derivada de e x é e x , então

    - 2 ∫ - 3 2 - ∞ e u d u = - 2 e u - 3 2 - ∞ = - 2 e - ∞ - e - 3 2 = 2 e - 3 / 2

    Por fim temos então

    k 2 + 2 e - 3 / 2 = 1 → k = 2 - 4 e - 3 / 2

    Assim temos que

    ∫ - ∞ ∞ f x x = ∫ D f x x d x = ∫ 0 1 2 - 4 e - 3 2 x d x + ∫ 1 ∞ 3 e - 3 2 x d x  

    Com nosso domínio de integração D 0 , ∞ .

    Passo 3

  3. Agora sabendo quanto vale nosso k , vamos determinar quando vale a probabilidade entre 0 < x < 3 .

Assim queremos calcular

∫ 0 3 f x x d x

Claro que já sabemos quanto vale a função f x x em cada intervalo, então

∫ 0 1 f x x d x + ∫ 1 3 f x x d x = ∫ 0 1 2 - 4 e - 3 / 2 x   d x + ∫ 1 3 3 e - 3 2 x   d x  

A primeira integral é o que já vimos anteriormente e

∫ 0 1 2 - 4 e - 3 / 2 x   d x = 2 - 4 e - 3 / 2 x 2 2 0 1 = 1 - 2 e - 3 / 2

Que era o nosso k / 2 . A segunda integral

∫ 1 3 3 e - 3 2 x   d x

Fazemos a mesma substituição de - 3 2 x = u , temos

= - 2 ∫ - 3 2 - 9 2 e u d u = - 2 e u - 3 2 - 9 2 = - 2 e - 9 2 - e - 3 2

Assim temos finalmente que

∫ 0 3 f x x d x = 1 - 2 e - 3 2 - 2 e - 9 2 - e - 3 2 = 1 - 2 e - 9 / 2

Que claramente é um valor menor do que 1, mostrando que no mínimo coerente, nosso resultado está.

Resposta

k = 2 - 4 e - 3 2

∫ D f x x d x = ∫ 0 1 2 - 4 e - 3 2 x d x + ∫ 1 ∞ 3 e - 3 2 x d x

∫ 0 3 f x x d x = 1 - 2 e - 9 / 2

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