Exercícios Resolvidos de Introdução à Variável Aleatória Contínua

Variável Aleatória Contínua

O tempo em horas que um certo componente funciona pode ser representado por uma variável aleatória contínua X , cuja função densidade de probabilidade é:

f x = 0   ,     s e   x < 50 k x 2   ,     s e   x ≥ 50

  1. Calcular o valor de k .
  2. Qual a probabilidade que um destes componentes tenha que ser substituído após 75 horas de operação?

Passo 1

(a)

Pra calcular o valor de k temos que integrar a função e o seu resultado tem que ser 1 .

∫ - ∞ + ∞ f x   d x = 1

∫ 50 + ∞ k x 2   d x = 1

- k x 50 + ∞ = 1

k + ∞ + k 50 = 1

Esse termo dividido por infinito fica igual a zero.

k 50 = 1

k = 50

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

(b)

Pra ser substituído após 75 horas, temos que calcular a probabilidade do componente durar pelo menos 75 horas.

P X ≥ 75 = ∫ 75 + ∞ f x   d x

Lembrando que:

f x = 50 x 2

Agora que a gente sabe que k = 50 .

Passo 3

Vamos resolver a integral..

∫ 75 + ∞ 50 x 2   d x

= - 50 x 75 + ∞

= 50 ∞ + 50 75

= 50 75

simplificando

= 2 3

Resposta

a   k = 50

b 2 3

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