Exercícios Resolvidos de Medidas de Centralidade e Dispersão para V.A. Contínua

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Enunciado

O custo de fábrica de um determinado produto é R$ 500,00 e ele é vendido por R$ 1.000,00 em uma certa loja. Quando um cliente compra esse produto, ele tem direito a 6 meses de garantia e caso o produto apresente defeito nesse prazo, ele trocará por um novo (gerando um prejuízo de R$ 500,00 para a loja). Assuma que essa troca só pode ser feita uma vez por cliente e considere que o tempo até esse produto apresentar defeito (em anos) é uma variável aleatória X , cuja função densidade de probabilidade é apresentada abaixo:

f x = x 2 2 ,         p a r a     0 ≤ x ≤ 1 13 - 3 x 20 ,           p a r a     1 < x ≤ 13 3 0 ,             c a s o   c o n t r a r i o

a) Qual o valor esperado do lucro para a loja com a venda de uma unidade desse produto?

b) Considere que a loja oferecerá opção de o cliente pagar um adicional R$ 200,00 por uma garantia estendida, que aumenta em 1 ano o prazo para a troca em caso de defeito. O valor esperado do lucro para a loja com a venda de uma unidade com garantia estendida será maior ou menor do que a garantia padrão? Justifique.

c) Calcule o tempo adicional máximo que loja pode oferecer na garantia estendida de modo que essa opção não leve a um lucro esperado inferior ao de uma venda sem garantia estendida.

Passo 1

Fala pessoal, bora começar mais uma questão de prova?

A situação é a seguinte: caso o produto não apresente problemas nos primeiros seis meses, a loja terá um lucro de 500 reais sobre esse produto. Todavia, se o produto apresentar problemas nesses seis meses a loja sairá com um prejuízo de 500 reais.

O valor esperado do lucro será

E L = 500 ⋅ P n a o   d a r   d e f e i t o   e m   6   m e s e s + - 500 ⋅ P d a r   d e f e i t o   e m   6   m e s e s

Com isso, nosso problema no item (a) se resume a achar essas probabilidades!

Passo 2

Para achar as probabilidades, temos que integrar a função densidade de probabilidade. A probabilidade de o produto dar defeito nos primeiros 6 meses é dada pela integral de f x com x entre 0 e 1 / 2 (6 meses é metade de um ano):

P d a r   d e f e i t o   e m   6   m e s e s = ∫ 0 1 / 2 f x   d x

Como para 0 ≤ x ≤ 1 temos que f x = x 2 / 2 , segue que

P d a r   d e f e i t o   e m   6   m e s e s = ∫ 0 1 / 2 x 2 2   d x = x 3 6 0 1 / 2 = 1 6 ⋅ 1 2 2

Portanto,

P d a r   d e f e i t o   e m   6   m e s e s = 1 48

Desta forma, a probabilidade de não dar defeito nos 6 meses é

P n a o   d a r   d e f e i t o   e m   6   m e s e s = 1 - P d a r   d e f e i t o   e m   6   m e s e s = 47 48

Com isso fica fácil terminar o problema:

E L = 500 ⋅ 47 48 - 500 ⋅ 1 48 = 500 48 47 - 1 = 46 ⋅ 500 48

Fazendo as contas, encontramos

E L = 479,2

Passo 3

No item (b) a situação é um pouquinho diferente...

O período de garantia se estende para 1,5 anos. Caso nesse tempo o produto apresente defeito, a loja toma um prejuízo de 500 reais. Caso o produto não apresente defeitos nesse tempo, o lucro de loja é de 500 + 200 = 700 reais. Assim,

E L = 700 ⋅ P n a o   d a r   d e f e i t o   e m   18   m e s e s + - 500 ⋅ P d a r   d e f e i t o   e m   18   m e s e s

Para calcular a probabilidade, temos que fazer a integral de x = 0 até x = 3 / 2 . Mas você precisa tomar um cuidado: de 0 a 1 usamos f x = x 2 / 2 , enquanto entre x = 1 e x = 3 / 2 nós devemos usar ( 13 - 3 x ) / 20 :

P d a r   d e f e i t o   e m   18   m e s e s = ∫ 0 1 x 2 2   d x + ∫ 1 3 / 2 13 20 - 3 x 20   d x

Fazendo a integral:

P d a r   d e f e i t o   e m   18   m e s e s = x 3 6 0 1 + 13 20 x - 3 x 2 40 1 3 / 2

Logo,

P d a r   d e f e i t o   e m   18   m e s e s = 1 6 + 13 20 3 2 - 1 - 3 40 3 2 2 - 1 2

P d a r   d e f e i t o   e m   18   m e s e s = 1 6 + 13 20 ⋅ 1 2 - 3 40 ⋅ 5 4 = 1 6 + 1 40 13 - 15 4

P d a r   d e f e i t o   e m   18   m e s e s = 1 6 + 1 40 ⋅ 37 4 = 191 480

Portanto, a probabilidade complementar é

P n a o   d a r   d e f e i t o   e m   18   m e s e s = 1 - P d a r   d e f e i t o   e m   18   m e s e s = 289 480

Com isso, o lucro esperado é

E L = 700 ⋅ 289 480 - 500 ⋅ 191 480 = 100 480 7 ⋅ 289 - 5 ⋅ 191

Portanto,

E L = 222,5

Esse lucro é menor que o lucro do item (a).

Passo 4

Por fim, vamos ao item (c)!

Queremos achar o tempo máximo que a loja pode oferecer a garantia estendida sem que o lucro esperado seja menor que na situação do item (a). Para isso, vamos considerar a seguinte situação:

E L = 700 ⋅ P s e m   d e f e i t o - 500 ⋅ P c o m   d e f e i t o ≥ 479,2

O problema é que não sabemos qual é o tempo da garantia para calcular essas probabilidades (essa é a pergunta do problema). Nos itens anteriores, nós conhecíamos o tempo e daí calculávamos as probabilidades. Agora vamos fazer o caminho contrário!

Vale lembrar que

P s e m   d e f e i t o = 1 - P c o m   d e f e i t o

Por questão de simplicidade, vou escrever apenas P c o m   d e f e i t o = P :

700 1 - P - 500 P ≥ 479,2

Logo,

700 - 700 P - 500 P ≥ 479,2

1200 P ≤ 220,8 → P ≤ 0,184

Portanto, a probabilidade de o produto apresentar defeito deve ser inferior a 0,184 . O caso limite é quando e ela for exatamente 0,184 . Queremos saber o valor de y tal que

P X < y = 0,184

Isso significa que queremos achar y tal que

∫ 0 y f x   d x = 0,184

Vimos no item (b) que

∫ 0 1 f x     d x = ∫ 0 1 x 2 2   d x = 1 6 < 0,184

Portanto, y deve ser maior que 1 . Com isso, temos

1 6 + ∫ 1 y 13 20 - 3 x 20   d x = 0,184

Vamos olhar para a integral:

∫ 1 y 13 20 - 3 x 20   d x = 13 x 20 - 3 x 2 40 1 y = 13 y 20 - 3 y 2 40 - 13 20 - 3 40 = 26 y - 3 y 2 - 23 40

Logo, substituindo a integral na equação:

1 6 + 26 y - 3 y 2 - 23 40 = 0,184 → 26 y - 3 y 2 - 23 = 0,7

Ou ainda,

3 y 2 - 26 y + 23,7 = 0

Aí temos que resolver essa equa��ão do segundo grau:

y = 26 ± 26 2 - 4 ⋅ 3 ⋅ 23,7 2 ⋅ 3

Nós achamos duas respostas:

y 1 = 1,035             e               y 2 = 7,631

Só o menor valor faz sentido no problema já que x ≤ 13 / 3 . Portanto, o tempo máximo que a loja pode dar na garantia estendida sem que tenha um lucro menor que o do item (a) é 1,035   a n o s = 378   d i a s . Isso significa que o tempo adicional é

378 - 365 2 = 195   d i a s

Resposta

a) E L = 479,2 .

b) Menor.

c) 195 dias.

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