Exercícios Resolvidos de Medidas de Centralidade e Dispersão para V.A. Contínua

Variável Aleatória Contínua

Uma determinada mistura de um processo químico demora no mínimo um minuto para começar a reagir e depois disto o tempo (em minutos) até o processo de mistura ser concluído pode ser modelado por uma variável aleatória X com função de densidade de probabilidade dada por f x = 3 x 4 para x > 1 e f x = 0 para x < 1 .

  1. Calcule a variância do tempo até o processo de mistura ser concluído.
  2. Calcule a probabilidade do processo demorar menos do que um minuto e meio para ser concluído.

Passo 1

(a)

Pra calcular a variância a gente usa a seguinte relação:

V a r X = E X 2 - E X 2

Então primeiro a gente tem que calcular esses candangos aí... é o que vamos fazer usando as fórmulas que a gente conhece.

E X = ∫ x . f x   d x

= ∫ 1 + ∞ x . 3 x 4   d x

= ∫ 1 + ∞ 3 x 3   d x

= - 3 2 x 2 1 + ∞

= - 3 ∞ + 3 2 × 1 2

= 3 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

E:

E X 2 = ∫ x ² . f x   d x

= ∫ 1 + ∞ x ² . 3 x 4   d x

= ∫ 1 + ∞ 3 x 2   d x

= - 3 x 1 1 + ∞

= - 3 ∞ + 3 1

= 3

Passo 3

Juntando tudo:

V a r X = E X 2 - E X 2

= 3 - 3 2 2

= 3 - 9 4

= 3 4

Passo 4

(b)

Temos que calcular a prob. do processo durar menos de um minuto e meio, que é o mesmo que:

P X < 3 2 =   ?

Certo?

Daí é só integrar nossa função.

P X < 3 2 = ∫ 1 3 2 3 x 4   d x

= - 3 3 x 3 1 3 2

= - 1 3 2 3 + 1 1 3

= - 8 27 + 1

= 19 27

Resposta

a   V a r X = 3 4

b   P X < 3 2 = 19 27

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