Exercícios Resolvidos de Medidas de Centralidade e Dispersão para V.A. Contínua

UFRJ-PF-2014.2-1

A proporção de álcool em certo produto pode ser considerada uma variável aleatória X com a seguinte função densidade de probabilidade:

f x = 20 x 3 1 - x     ,       s e   0 < x < 1 0       ,                                       c a s o   c o n t r á r i o

  1. Calcule o valor esperado e a variância de X .
  2. Suponha que o preço de venda do produto dependa da proporção de álcool. Se 1 / 3 < X < 2 / 3 o produto é vendido por A 1 reais/l, caso contrário por A 2 reais/l. Expresse em função de A 1 ,   A 2 e B a distribuição de probabilidades do lucro líquido por litro de produto, supondo que o custo por litro é de B reais.

Passo 1

(a)

Nesse item vamos basicamente aplicar umas fórmulas de variáveis aleatórias contínuas...

Para calcular o valor esperado (esperança), a gente usa:

E X = ∫ x . f x   d x

Que vai ficar:

= ∫ 0 1 x . 20 x 3 1 - x   d x

= ∫ 0 1 20 x 4 - 20 x 5   d x

= 20 x 5 5 - x 6 6 0 1

= 20 . 1 5 - 1 6

= 20 × 1 30

E X = 2 3

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para variância a gente usa:

V a r X = E X 2 - E X 2

Aí temos que calcular primeiro:

E X 2 = ∫ x 2 . f x   d x

= ∫ 0 1 x 2 . 20 x 3 1 - x     d x

= ∫ 0 1 20 x 5 - 20 x 6   d x

= 20 x 6 6 - x 7 7 0 1

= 20 . 1 6 - 1 7

= 20 × 1 42

E X 2 = 10 21

Passo 3

Juntando tudo:

V a r X = 10 21 - 2 3 2

= 10 21 - 4 9

= 30 - 28 63

V a r X = 2 63

Passo 4

(b)

Bom, se 1 / 3 < X < 2 / 3 o produto é vendido por A 1 , caso contrário, é vendido por A 2 .

E o preço de produção é fixo e igual a B .

Então o nosso lucro, que vou chamar de L , pode ter dois valores.

L = A 1 - B       o u       L = A 2 - B

Dependendo do preço de venda.

Passo 5

Vamos calcular então a prob. de 1 3 < X < 2 3 , que será exatamente a prob. do lucro ser de A 1 - B .

P 1 3 < X < 2 3 = ∫ 1 3 2 3 20 x 3 1 - x   d x

= ∫ 1 3 2 3 20 x 3 - 20 x 4

= 20 . x 4 4 - x 5 5 1 3 2 3

= 20 . 2 3 4 4 - 2 3 5 5 - 1 3 4 4 - 1 3 5 5

= 20 . 16 324 - 32 1215 - 1 324 - 1 1215

= 20 . 15 324 - 31 1215

Desisto, pega sua calculadora aí!

≅ 0,4156

Passo 6

Se a probabilidade de 1 3 < X < 2 3 é de 0,4156 ... quanto seria a probabilidade de isso não acontecer?

= 1 - 0,4156

= 0,5844

Sendo assim, a gente vai ter que o lucro vai ser:

L = A 1 - B     ,     c o m   p r o b .   d e   0,4156 A 2 - B     ,     c o m   p r o b .   d e   0,5844

E essa é a distribuição de prob. do lucro: seus possíveis valores e as probabilidades referentes a cada um deles.

Resposta

a   E X = 2 3     e     V a r X = 2 63

b   L = A 1 - B     ,     c o m   p r o b .   d e   0,4156 A 2 - B     ,     c o m   p r o b .   d e   0,5844

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