Exercícios Resolvidos de Medidas de Centralidade e Dispersão para V.A. Contínua

Variável Aleatória Contínua

Sabemos que a esperança e a variância de uma v.a. podem ser encaradas, respectivamente, como a abscissa do centro de gravidade e o momento de inércia de uma distribuição de massa, e que isso vale tanto no caso discreto como no caso contínuo. Admita que a função de densidade da v.a. contínua X é dada por:

f x = 0                                       s e   x ≤ - 3 3 5 + x 5         s e   - 3 < x ≤ - 2 1 5                 s e   - 2 < x ≤ 2 3 5 - x 5                           s e   2 < x ≤ 3 0                                             s e   x > 3

  1. Determine E ( X ) e V a r ( X ) . Dica: Fazer um gráfico da função.
  2. Admita agora que Y é uma v.a. discreta que só pode assumir três valores: - 2 ,   0 e 2 . Obtenha a função de probabilidade da v.a. Y , sabendo que E X = E Y e V a r X = V a r Y . Isso significa que ambas as distribuições de massa têm o mesmo centro de gravidade e o mesmo momento de inércia, embora uma seja contínua e a outra seja discreta.

Passo 1

(a)

Vamos só aplicar fórmulas de variáveis aleatórias contínuas...

Para a esperança:

E X = ∫ x . f x   d x

Em todo o domínio da nossa função... isso nos dá:

E X = ∫ - 3 - 2 x . 3 5 + x 5 + ∫ - 2 2 x . 1 5   d x + ∫ 2 3 x . 3 5 - x 5   d x

= ∫ - 3 - 2 3 x 5 + x 2 5   d x + ∫ - 2 2 x 5   d x + ∫ 2 3 3 x 5 - x 2 5   d x

= 3 x 2 10 + x 3 15 - 3 - 2 + x 2 10 - 2 2 + 3 x 2 10 - x 3 15 2 3

= 12 10 - 8 15 - 27 10 + 27 15 + 4 10 - 4 10 + 27 10 - 27 15 - 12 10 + 8 15

Procura os semelhantes aí e vai cortando... viu o que sobra? Nada kkk

E X = 0

O exercício diz pra você desenhar a função por isso, desenhando você veria que ela é simétrica e daí poderia concluir que a esperança seria zero.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para variância a gente usa a relação:

V a r X = E X 2 - E X 2

Sendo que a gente já sabe que E X = 0 , falta só calcular E X 2 , que é:

E X 2 = ∫ x ² . f x   d x

Em todo o domínio da nossa função... isso nos dá:

E X = ∫ - 3 - 2 x ² . 3 5 + x 5 + ∫ - 2 2 x ² . 1 5   d x + ∫ 2 3 x ² . 3 5 - x 5   d x

= ∫ - 3 - 2 3 x ² 5 + x 3 5   d x + ∫ - 2 2 x ² 5   d x + ∫ 2 3 3 x ² 5 - x 3 5   d x

= 3 x 3 15 + x 4 20 - 3 - 2 + x 3 15 - 2 2 + 3 x 3 15 - x 4 20 2 3

= - 24 15 + 16 20 + 81 15 - 81 20 + 8 15 + 8 15 + 81 15 - 81 20 - 24 15 + 16 2 0

= 130 15 - 130 20

= 13 6

E daí:

V a r X = 13 6

Passo 3

(b)

A gente conhece os três possíveis valores de Y , que são: - 2 , 0,2 .

Pra fazer a função de distribuição da variável Y falta só a gente determinar com que probabilidade cada um desses valores acontece, ou seja, a gente tem que determinar:

P Y = - 2   ,   P Y = 0   ,   P Y = 2

Show?

E a gente sabe o valor da esperança e da variância, que são iguais ao que a gente calculou em (a) pra X .

E Y = 0     e   V a r Y = 13 6

Passo 4

A esperança de uma variável discreta, como que a gente faz? Lembra? A gente multiplica os possíveis valores da variável pelas suas probabilidades... então:

- 2 × P Y = - 2 + 0 × P Y = 0 + 2 × P Y = 2 = 0

Daí:

- 2 . P Y = - 2 + 2 . P Y = 2 = 0

P Y = - 2 = P Y = 2

Ok!

Passo 5

Vamos usar o dado da variância agora...

V a r Y = ∑ i = 1 n y i 2 . p y i - E Y 2

Como E Y = 0 ...

V a r Y = ∑ i = 1 n y i 2 . p y i

E isso é:

- 2 2 . P Y = - 2 + 0 2 . P Y = 0 + 2 2 . P Y = 2 = 13 6

4 . P Y = - 2 + 4 . P Y = 2 = 13 6

P Y = - 2 + P Y = 2 = 13 24

Só que a gente sabe que P Y = 2 = P Y = - 2 ... daí:

2 . P Y = 2 = 13 24

P Y = 2 = P Y = - 2 = 13 48

Passo 6

Daí você se pergunta como que a gente faz pra descobrir P Y = 0 se ele sempre tá zerando...

Lembra que o somatório de todas essas probabilidades de uma variável tem que dar 1 ?

Então:

P Y = 0 + P Y = - 2 + P Y = 2 = 1

P Y = 0 + 2 × 13 48 = 1

P Y = 0 = 1 - 13 24

P Y = 0 = 11 24

Show? Já temos a função de probabilidade de Y .

Resposta

a   E X = 0     e     V a r X = 13 6

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