Exercícios Resolvidos de Medidas de Centralidade e Dispersão para V.A. Contínua

P1 – UFRJ 2016.1 – Questão 3

O prazo adequado para a troca de um amortecedor novo de certa marca em automóveis sujeitos a uso contínuo e severo, pode ser considerado como uma variável aleatória contínua, medida em anos. Suponha que a função de densidade dessa variável é dada pela seguinte expressão:

f x = x 4 ,     s e   0 ≤ x ≤ 2 1 8 ,     s e   2 < x ≤ 6   0 ,     c a s o   c o n t r á r i o

a) Qual a probabilidade de que, para um automóvel, sujeito as condições descritas acima, a vida útil do amortecedor esteja entre 1 e 3 anos de uso?

b) Qual é, em média, a vida útil dos amortecedores dessa marca?

Passo 1

Opa! Questão de V.A. contínua!

Se estamos falando de V.A. Contínua temos que lembrar que vamos trabalhar com integrais :D

a) A vida útil esteja entre 1 e 3 anos de uso

Simbora integrar:

P 1 ≤ x ≤ 3 = ∫ 1 3 f x d x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Como essa função ela muda de acordo com o intervalo devemos prestar bastante atenção:

P 1 ≤ x ≤ 3 = ∫ 1 3 f x d x = ∫ 1 2 x 4 d x + ∫ 2 3 1 8 d x

P 1 ≤ x ≤ 3 = x 2 8 1 2 + x 8 2 3

P 1 ≤ x ≤ 3 = 1 2

Passo 3

b) Qual a vida média?

Estamos falando de média, então vamos aplicar a fórmula:

E X = ∫ - ∞ ∞ x f x d x

E X = ∫ - ∞ 0 x . 0   d x + ∫ 0 2 x . x 4   d x + ∫ 2 6 x . 1 8   d x + ∫ 6 ∞ x .   0   d x

E X = ∫ 0 2 x 2 4   d x + ∫ 2 6 x 8   d x

E X = 2 3 + 2 = 2,67   a n o s

Resposta

a) 1/2

b) 2,67 anos

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