Exercícios Resolvidos de Medidas de Centralidade e Dispersão para V.A. Contínua

Variável Aleatória Contínua

A distribuição da renda, expressa em salários mínimos (s.m.), dos membros de um sindicato é caracterizada pela função de densidade:

f x = 3 x - 4 ,                     s e   x ≥ 1 0 ,                                   s e   x < 1 .

  1. Calcule o desvio padrão (em s.m.) dessa variável;
  2. Determine o nível salarial (em s.m.) abaixo do qual estão os salários de 87,5% (ou seja, 7 8 ) desses profissionais.

Passo 1

(a)

Vamos começar calculando E ( X ) .

E X = ∫ - ∞ + ∞ x . f x   d x

                    = ∫ 1 + ∞ x . 3 x - 4   d x

          = ∫ 1 + ∞ 3 x - 3   d x

      = 3 - x - 2 2 1 + ∞

= 3 2                                    

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Calculamos também E ( X 2 ) .

E X ² = ∫ - ∞ + ∞ x ² . f x   d x

                    = ∫ 1 + ∞ x ² . 3 x - 4   d x

          = ∫ 1 + ∞ 3 x - 2   d x

      = 3 [ - x - 1 ] 1 + ∞    

= 3                                    

Passo 3

Agora já estamos aptos a calcular V a r X .

V a r X = E X 2 - [ E X ] ²

V a r X = 3 - 3 2 2

              = 3 - 9 4

= 3 4  

E então calcular o que o exercício pede, D P ( X ) .

D P X = V a r X

D P X ≈ 0,867   s . m .

Passo 4

(b)

A gente sabe que a FDA → F ( X ) dessa variável pode ser expressa assim:

F X = 0     ,       s e   x < 1

F X = ∫ 1 x f t   d t

                = ∫ 1 x 3 t - 4   d t

              = 3 . - s - 3 3 1 x

Corta o 3 ai na sua folha, hehe..

F ( X ) = 1 - 1 x 3         ,         s e   x > 1

Passo 5

O que o exercício quer é que a gente diga pra qual valor de x , F ( X ) vale 87,5%.

1 - 1 x 3 = 0,875

1 x 3 = 0,125

x 3 = 1 0,125

x 3 = 8

x = 2

Resposta

a   0,867

b   2

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