Exercícios Resolvidos de Medidas de Centralidade e Dispersão para V.A. Contínua

Medidas de Dispersão de uma Variável Aleatória Contínua

A trava se segurança de um aparelho industrial deve ser trocada com frequência, de modo a evitar a quebra devido ao desgaste. Estudos anteriores admitem que a vida útil dessa trava pode ser representada por uma variável aleatória contínua, assumindo valores entre 0 e 1 ano, com função de densidade de probabilidade dada por:

f x =     3 2 1 - x 2 ,         0 < x ≤ 1 ; 0 ,                       c a s o   c o n t r á r i o ;

(c) Calcule o desvio padrão da vida útil do aparelho industrial.

Passo 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Letra c)

Para o desvio padrão, precisamos primeiro calcular a variância, que é dada por:

V a r X = E X 2 - E ( X ) ²

E ( X ) nós já temos, bora calcular esse E ( X 2 ) então:

E X ² = ∫ - ∞ + ∞ f x . x ²   d x

E X ² = ∫ 0 1 3 2 1 - x 2 . x ²   d x = ∫ 0 1 3 2 x ² - x 4 d x

E X 2 = 3 2 x ³ 3 - x 5 5 0 1 = 3 2 1 3 - 1 5 - 3 2 0 3 - 0 5 = 0,2

Daí calculamos a nossa variância como:

V a r X = 0,2 - 0,375 2 = 0,059375   a n o s 2

Então nosso desvio padrão é:

D P X = V a r ( X ) = 0,059375 = 0,2436699   a n o s

Resposta

Letra c)

0,2436699   a n o s

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