Exercícios Resolvidos de Medidas de Centralidade e Dispersão para V.A. Contínua

Variável Aleatória Contínua

Uma pessoa está viajando e pretende alugar um carro.

A distancia (em k m ) que ela irá percorrer diariamente é uma variável aleatória com densidade:

f x = x - 50 2500   ,     s e   50 ≤ x ≤ 100 150 - x 2500   ,     s e   100 ≤ x ≤ 150

Existem duas opções de diárias de aluguel:

  1. Opção 1 : R $   70 + R $   0,35 por k m rodado;
  2. Opção 2 : R $   90   se rodar até 120   k m e R $   130 se rodar mais de 120   k m num dia.

Ache os valores das opções 1 e 2 e diga qual das opções é mais vantajosa, em termos de apresentar o menor custo esperado de aluguel?

Passo 1

Vamos fazer opção por opção... primeiro a opção 1 .

Qual seria a fórmula pro custo dela?

C 1 = 70 + 0,35 . X

Onde x é o número de k m rodados.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A gente quer calcular o valor esperado para o custo que nada mais é que E C 1 .

E C 1 = 70 + 0,35 . X

Aplicando a propriedade da esperança...

E C 1 = 70 + 0,35 . E X

Então precisamos calcular primeiro o valor esperado de k m rodados, E X .

Passo 3

A gente tem a função densidade da distância, pra calcular a esperança é só usar a fórmula:

E X = ∫ x . f x   d x

Nesse caso:

E X = ∫ 50 100 x . x - 50 2500   d x + ∫ 100 150 x . 150 - x 2500   d x

= 1 2500 ∫ 50 100 x ² - 50 x d x + 1 2500 ∫ 100 150 150 x - x 2   d x  

Passo 4

Agora é resolver integral...

= 1 2500 . x 3 3 - 50 x 2 2 50 100 + 1 2500 . 150 x 2 2 - x 3 3 100 150

= 1 2500 100 3 3 - 25 . 100 2 - 50 3 3 - 25 . 50 2 + 1 2500 75 . 150 2 - 150 3 3 - 75 . 10 0 2 - 10 0 3 3

= 100

Passo 5

Sabendo que E X = 100 ...

E C 1 = 70 + 0,35 × 100

= 105

Esse é o custo esperado para a opção 1 .

Passo 6

Agora para a opção 2 vamos pensar um pouco diferente... pois não temos uma função que caracterize essa opção. O que a gente tem é que essa opção tem duas possibilidades, ou custa 90 ou 130 , dependendo da distância rodada...

Podemos dizer então que a variável C 2 que representa esse custo da segunda opção é uma v.a. discreta que pode assumir dois valores: 90 ou 130 .

Pra gente calcular a esperança dessa variável então nós temos que multiplicar os seus valores possíveis pela probabilidade da variável assumir cada um desses valores, entende o que eu digo? Na conta vai ficar mais claro.

Passo 7

Bom, vamos começar calculando a probabilidade do custo ser de 100 reais, pra isso basta calcular a probabilidade da pessoa rodar no máximo até 120 k m .

P X ≤ 120 =   ?

Tendo a função de densidade, é só ir integrar...

P X ≤ 120 = ∫ 0 120 f x   d x

Que nesse caso fica assim...

= ∫ 50 100 x - 50 2500   d x + ∫ 100 120 150 - x 2500   d x

Passo 8

Só conta..

= 1 2500 . x 2 2 - 50 x 50 100 + 1 2500 . 150 x - x 2 2 100 120

= 1 2500 . 100 2 2 - 50 × 100 - 50 2 2 - 50 × 50 + 1 2500 150 × 120 - 120 2 2 - 150 × 100 - 100 2 2

= 1 2500 . 1250 + 1 2500 . 10800 - 10000

= 0,82

P X ≤ 120 = 0,82

Passo 9

Agora a probabilidade do custo ser de 130 , vamos calcular a probabilidade da distância ser maior que 120 k m .

Bom, não precisamos fazer aquela conta toda de novo. Concorda que a chance da pessoa percorrer mais que 120 k m é igual a 1 menos a chance dela percorrer menos?

P X > 120 = 1 - P X ≤ 120

P X > 120 = 1 - 0,82

= 0,18

Passo 10

Já temos os dois valores possíveis pro custo C 2 : 90 e 130 , e já temos suas respectivas probabilidades: 0,875 e 0,125 . Já podemos calcular E ( C 2 ) .

E C 2 = 90 × 0,82 + 130 × 0,18

= 97,2

Passo 11

Analisando os dois custos a gente vê que o valor esperado para o C 2 é menor do que pro C 1 .

E C 2 < E C 1

Então concluímos que a opção 2 é a mais econômica.

Resposta

O p ç ã o   2

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