Exercícios Resolvidos de Medidas de Centralidade e Dispersão para V.A. Contínua

PUCRIO, Probabilidade e Estatísitica, P1 - 2011.2, Questão 5b)

A renda de uma pessoa numa população é uma variável aleatória contínua X com densidade f x x = - x 2 + 1 , apenas para X [ 0,2 ] .

  1. Calcule a função de distribuição de X = F ( x ) .
  2. Calcule a média, variância e o desvio padrão de X .

Passo 1

Vamos calcular a função F x , para isso é só integrar a função, vamos ver como.

A gente sabe que para x < 0 , F x = 0 , já que x não está definido nesse intervalo.

E para x > 2 , F x = 1 , porque uma função acumulada no final fica igual a 1 .

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Passo 2

Para o intervalo intermediário 0,2 , vamos integrar.

0 x f x   d x

= 0 x - x 2 + 1   d x

= - x 2 4 + x 0 x

= - x 2 4 + x

É isso aí, podemos organizar melhor:

F x = 0 ,     s e   x < 0 - x 2 4 + x ,     s e   0 < x < 2               1 ,     s e   x > 2

Passo 3

(b)

Para cada uma delas é uma fórmula...

Primeira a média, ou esperança.

E X = 0 2 x . f x   d x

= 0 2 x . - x 2 + 1   d x

= 0 2 - x 2 2 + x     d x

= - x 3 6 + x 2 2 0 2

= - 8 6 + 4 2

= - 4 3 + 2

= 2 3

Passo 4

Para a variância temos a relação abaixo.

V a r X = E X 2 - E X 2

Para E X 2 é só adicionar mais um x ali na integral.

E X 2 = 0 2 x 2 . f x   d x

= 0 2 x 2 . - x 2 + 1   d x

= 0 2 - x 3 2 + x 2   d x

= - x 4 8 + x 3 3 0 2

= - 16 8 + 8 3

= - 2 + 8 3

= 2 3

Passo 5

Aí a gente junta isso com o E X que a gente já conhece e descobre a variância.

V a r X = 2 3 - 2 3 2

V a r X = 2 3 - 4 9

V a r X = 2 9

Passo 6

O desvio padrão nada mais é que a raiz quadrada da variância.

D P X = 2 9

D P X = 2 3

Resposta

a   F x = 0 ,     s e   x < 0 - x 2 4 + x ,     s e   0 < x < 2               1 ,     s e   x > 2

b   E X = 2 3   ,     V a r X = 2 9     ,     D P X = 2 3

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