Exercícios Resolvidos de Medidas de Centralidade e Dispersão para V.A. Contínua

PUCRIO, Probabilidade e Estatísitica, P1 - 2017.1, Questão 6

Suponha uma variável aleatória contínua X com densidade de probabilidade f x = 9 x ² 8 - 2 x + 1 , com suporte no intervalo [ 0,2 ] .

a) Encontre a função de distribuição de probabilidade acumulada de “X”.

b) Calcule a média e a variância da distribuição de “X”.

Passo 1

a) Encontre a função de distribuição de probabilidade acumulada de “X”.

Então, como estamos no caso de uma v.a. contínua, aqui a nossa FDA é dada pela integral de 0 até x da função densidade!

Como ele já deu a função de densidade, vamos integrar e partir pro abraço:

F x = 0 x f x d x

F x = 0 x 9 x ² 8 - 2 x + 1 d x

F x = 3 x 3 8 - x 2 + x

Como ele deu que o intervalo válido pra essa função densidade é de 0 até 2 , temos o seguinte:

F x = 0 ,     s e   x < 0 3 x 3 8 - x 2 + x ,     s e   0 x 2 1 ,     s e   x > 2

Antes de 0 não temos nenhuma probabilidade acumulada, já que a função começa daí. E o máximo da FDA é 1, e isso acontece em x = 2 , portanto para valores maiores do que 2 a função é sempre 1 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b) Calcule a média e a variância da distribuição de “X”.

Bom, sabemos que a média, ou valor esperado, de uma v.a. contínua é dada pela integral:

E X = 0 2 x f x d x

Substituindo pela função, temos:

E X = 0 2 x 9 x ² 8 - 2 x + 1 d x = 7 6 = 1,167

Passo 3

Para calcular a variância, vamos usar aquela formulazinha esperta:

V A R X = E X 2 - E 2 [ X ]

Já temos a E [ X ] , então basta elevar ao quadrado e substituir. Dito isso, vamos calcular E [ X 2 ] !

E X 2 = 0 2 x ² f x d x = 0 2 x ² 9 x 2 8 - 2 x + 1 d x = 28 15 = 1,867

Substituindo tudo:

V A R X = 28 15 - 7 6 2 = 0,505

Resposta

a) F x = 0 ,     s e   x < 0 3 x 3 8 - x 2 + x ,     s e   0 x 2 1 ,     s e   x > 2

b) E X = 1,167

V A R X = 0,505

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