Exercícios Resolvidos de Medidas de Centralidade e Dispersão para V.A. Contínua

UFF-1°VE-4

O tempo de reação (em segundos) a um determinado estímulo é uma variável aleatória contínua com fdp:

f x = 3 2 x 2     ,     s e   1 x 3

f x = 0   ,     c a s o   c o n t r á r i o

  1. Deduza F ( x ) e faça o gráfico.
  2. Qual é a probabilidade de o tempo de reação ser no máximo 2,5 segundos?
  3. Entre 1,5 e 2,5 segundos?
  4. Calcule o tempo de reação esperado.
  5. Calcule o desvio padrão do tempo de reação.

Passo 1

(a)

Vamos usar:

F x = - x f t   d t

Para 1 x 3 :

F x = 1 x 3 2 t 2   d t

= 1 x 3 t - 2 2   d t

= - 3 2 . t - 1 1 x

= - 3 2 x + 3 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

(b)

P x 2,5 = 1 2,5 3 2 x 2   d x

= - 3 2 . t - 1 1 2,5

= - 3 2 × 2,5 + 3 2

= - 3 5 + 3 2

= - 6 + 15 10

= 9 10

Passo 3

(c)

P 1,5 x 2,5 = 1,5 2,5 3 2 x 2   d x

= - 3 2 . t - 1 1,5 2,5

= - 3 2 × 2,5 + 3 2 × 1,5

= - 3 5 + 1

= 2 5

Passo 4

(d)

O tempo de reação esperado nada mais é do que a esperança.

E X = - + x f x   d x

= 1 3 x 3 2 x 2   d x

= 1 3 3 2 x   d x

= 3 2 . ln x 1 3

= 3 2 × ln 3 - ln 1

E X = 1,65

Passo 5

(e)

Para o desvio padrão, primeiro calculamos a variância e depois tiramos a raiz quadrada.

V a r X = - + x 2 f x   d x - [ E X ] ²

= 1 3 x 2 . 3 2 x 2   d x - 1,65 2

= 1 3 3 2   d x - 1,65 ²

= 3 2 3 - 1 - 1,65 2

= 3 - 1,65 2

V a r X = 0,28

O desvio padrão será então:

D P X = V a r X

0,53

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